[论文解读] Dynamical Zeta Functions, Nielsen theory and Reidemeister torsion

Alexander Fel’shtyn|ArXiv.org|Apr 2, 1996

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 33被引用 14

一句话总结

本文建立了动力系统中动力 zeta 函数、尼尔森不动点理论与 Reidemeister torsion 之间的深层联系。提出了连续映射与群自同态的 Reidemeister 和 Nielsen zeta 函数，证明了其在特定类群（如最终交换群、幂零群、几乎阿贝尔群）下的有理性和函数方程，并通过映射环面上的全息表示将这些 zeta 函数与 Reidemeister torsion 联系起来，尤其在具有 Bott 积分和圆 Morse 函数的可积哈密顿系统中。

ABSTRACT

The paper consists of four parts. Part I presents a brief survey of the Nielsen fixed point theory. Part II deals with dynamical zeta functions connected with Nielsen fixed point theory. Part III is concerned with congruences for the Reidemeister and Nielsen numbers. Part IV deals with the Reidemeister torsion . In Chapter 2 we prove that the Reidemeister zeta function of a group endomorphism is a rational function with functional equation in the following cases: the group is finitely generated and an endomorphism is eventually commutative; the group is finite ; the group is a direct sum of a finite group and a finitely generated free abelian group; the group is finitely generated, nilpotent and torsion free. In Chapter 3 we show that the Nielsen zeta function has a positive radius of convergence which admits a sharp estimate in terms of the topological entropy of the map. For a periodic map of a compact polyhedron we prove that Nielsen zeta function is a radical of a rational function. In sect ion 3.4 and 3.5 we give sufficient conditions under which the Nielsen zeta function coincides with the Reidemeister zeta function and is a rational function with functional equation. In Chapter 5 we prove analog of Dold congruences for Reidemeister and Nielsen numbers. In section 6.2 we establish a connection between the Reidemeister torsion and Reidemeister zeta function. In section 6.3 we establish a connection between the Reidemeister torsion of a mapping torus, the eta-invariant, the Rochlin invariant and the multipliers of the theta function. In section 6.4 we describe with the help of the Reidemeister torsion the connection between the topology of the attraction domain of an attractor and the dynamic of the system on the attractor.

研究动机与目标

• 通过连接尼尔森不动点理论、Reidemeister torsion 与动力 zeta 函数，统一并扩展动力系统中 zeta 函数理论。
• 在代数与拓扑设定下，特别是针对群自同态，建立 Reidemeister 与 Nielsen zeta 函数的有理性和函数方程。
• 利用全息表示与 Bott 积分的分离子图，推导出紧致辛流形上 Reidemeister torsion 的拓扑公式。
• 研究不同群类与映射下 Reidemeister 与 Nielsen 数的同余性质。
• 探讨映射环面与 Lyapunov 函数在连接 torsion 与吸引子及不变曲面的拓扑结构中的作用。

提出的方法

• 将 Reidemeister zeta 函数定义为映射或自同态迭代的 Reidemeister 数的生成函数。
• 应用 Pontryagin 对偶性与迹公式，证明在最终交换自同态情形下，zeta 函数的有理性和函数方程。
• 利用圆柄分解与非奇异 Morse-Smale 流的概念，对玻特积分在等能面上的动力学进行建模。
• 通过临界圈 γ 的乘积，推导出 4-流形 Q 上 Reidemeister torsion 的公式：|det(I - δ(γ)ρ_E(γ))|^{ε(γ)}，其中 δ(γ) = ±1，ε(γ) = (-1)^{u(γ)}，u(γ) 为不稳定流形的维数。
• 构造隔离块 B ≃ X_γ × I^s，并利用简单同伦等价，将 (Q_{i+1}, Q_i) 的 torsion 与 (X_γ, ∂X_γ) 的 torsion 联系起来。
• 应用 Bismut-Freed-Witten 全息定理，通过动力 zeta 函数将 torsion 与 eta-不变量及 theta-乘子联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Reidemeister zeta 函数是有理的，并满足函数方程？
• RQ2 Nielsen 与 Reidemeister zeta 函数如何与对偶映射的 Lefschetz zeta 函数相关？
• RQ3 在具有 Bott 积分的可积哈密顿系统中，Reidemeister torsion 的拓扑意义是什么？
• RQ4 是否可在更广泛的群类中建立 Reidemeister 与 Nielsen 数的同余关系？
• RQ5 临界圈 γ 的分离子图结构如何影响流形的 Reidemeister torsion？

主要发现

• 对于最终交换自同态，Reidemeister zeta 函数是有理的，并满足函数方程。
• 在幂零群情形下，Reidemeister zeta 函数满足函数方程且是有理的。
• 对偶映射的映射环面的 Reidemeister torsion 为 τ(Q; E) = ∏_γ |det(I - δ(γ)ρ_E(γ))|^{ε(γ)}，其中 ε(γ) = (-1)^{u(γ)}，δ(γ) = ±1，取决于可定向性。
• 在具有 Bott 积分且为圆 Morse 函数的可积哈密顿系统中，临界圈对应周期轨道，且分离子图通过全息表示决定 torsion。
• 该 torsion 公式适用于具有 Bott 积分 f 的紧致、可定向、辛 4-流形 Q，其中 f 的临界子流形仅为圆。
• 引入了最小动力 zeta 函数与模 K 的 Nielsen zeta 函数，其收敛性与拓扑熵及基本群结构相关。