[论文解读] Dynamically generated quadrature and photon-number variances for Gaussian states

Moorad Alexanian|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2017

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文推导了单模简并参量放大器在位移压缩热态下的精确时变Wigner准概率分布，实现了对正交分量方差和光子数方差的精确计算。关键发现是在临界位移 $|\alpha_c|$ 处，Mandel参数 $Q_M(\tau)$ 出现相变，系统从严格经典行为转变为经典/非经典混合行为，尽管根据Glauber-Sudarshan $P(\beta)$ 准则，系统整体仍保持非经典性。

ABSTRACT

We calculate exactly the quantum mechanical, temporal Wigner quasiprobability density for a single-mode, degenerate parametric amplifier for a system in the Gaussian state, viz., a displaced-squeezed thermal state. The Wigner function allows us to calculate the fluctuations in photon number and the quadrature variance. We contrast the difference between the nonclassicality criteria, which is independent of the displacement parameter $α$, based on the Glauber-Sudarshan quasiprobability distribution $P(β)$ and the classical/nonclassical behavior of the Mandel $Q_{M}(τ)$ parameter, which depends strongly on $α$. We find a phase transition as a function of $α$ such that at the critical point $α_{c}$, $Q_{M}(τ)$, as a function of $τ$, goes from strictly classical, for $|α|< |α_{c}|$, to a mixed classical/nonclassical behavior, for $|α|> |α_{c}|$.

研究动机与目标

• 推导单模简并参量放大器在位移压缩热态下的精确时变Wigner准概率密度。
• 从Wigner函数计算正交分量方差和光子数方差的时序演化。
• 研究基于Glauber-Sudarshan $P(\beta)$ 函数的非经典性判据与时变Mandel参数 $Q_M(\tau)$ 之间的差异。
• 识别并表征Mandel参数随位移参数 $\alpha$ 变化的相变行为。

提出的方法

• 系统的时序演化由简并参量哈密顿量决定，通过幺正演化将初始热态转化为位移压缩热态。
• 利用时变正交分量均值和方差，精确推导出Wigner准概率密度，表达为 $\alpha$、$\xi$、$\bar{n}$ 和时间 $\tau$ 的函数。
• 通过在共轭正交分量上积分Wigner函数，计算正交分量方差，得到高斯概率分布。
• 利用Wigner函数和时变压缩与位移参数，从光子数算符的二阶矩计算光子数方差。
• 作为时间 $\tau$ 和位移 $\alpha$ 的函数评估Mandel参数 $Q_M(\tau)$，揭示其对 $\alpha$ 的依赖性。
• 通过分析 $Q_M(\tau)$ 在 $|\alpha|$ 跨过临界阈值 $|\alpha_c|$ 时的行为，数值识别出相变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在动态演化的高斯态中，Mandel参数 $Q_M(\tau)$ 对于不同位移参数 $\alpha$ 的取值，其随时间的行为如何？
• RQ2 Mandel参数从严格经典行为转变为经典/非经典混合行为的临界位移 $|\alpha_c|$ 是什么？
• RQ3 为何当 $|\alpha| > |\alpha_c|$ 时，Mandel参数 $Q_M(\tau)$ 仍表现出经典行为，尽管系统根据 $P(\beta)$ 准则仍为非经典？
• RQ4 在不假设统计平稳性的前提下，正交分量和光子数的时变方差在简并参量放大下如何演化？
• RQ5 初始热态平均光子数 $\bar{n}$ 和压缩参数 $r$ 在决定临界位移 $|\alpha_c|$ 中起什么作用？

主要发现

• Mandel参数 $Q_M(\tau)$ 在临界位移 $|\alpha_c|$ 处发生相变，系统统计动力学从严格经典行为转变为经典/非经典混合行为。
• 当 $|\alpha| < |\alpha_c|$ 时，$Q_M(\tau)$ 对所有 $\tau$ 均保持正值，表明光子统计为经典行为。
• 当 $|\alpha| > |\alpha_c|$ 时，$Q_M(\tau)$ 在早期时间变为负值（非经典），但随着 $\tau$ 增大，最终转为正值（经典），表明存在时变的经典-非经典交叉。
• 临界位移 $|\alpha_c|$ 由 $Q_M(0)$ 的符号变化条件确定，其依赖于 $\bar{n}$、$r$ 和压缩参数的相位 $\theta$。
• 尽管根据Glauber-Sudarshan $P(\beta)$ 准则系统为非经典，但Mandel参数 $Q_M(\tau)$ 在 $|\alpha| > \alpha_c$ 时仍可表现出经典行为，揭示了非经典性判据之间的根本差异。
• 以闭式表达式精确推导出时变Wigner函数，明确展示了五个实参数（两个正交分量均值和三个方差/协方差）的时序演化，从而实现方差的精确计算。