[论文解读] Dynamics and entropy in local algebra

Mahdi Majidi-Zolbanin, Nikita Miasnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文为诺特局部环的有限长度自同态引入代数熵，建立其与拓扑熵类似的性质。它提供了希尔伯特-昆恩多重性的一种特征无关解释，并证明当映射的指标序列有界时，代数熵为零，从而将其与环的维数及理想增长联系起来。

ABSTRACT

We introduce and study a notion of algebraic entropy for self-maps of finite length of Noetherian local rings, and develop its properties. We show that it shares the standard properties of topological entropy. For finite self-maps we explore the connection between the degree of the map and its algebraic entropy, when the ring is a Cohen-Macaulay domain. As an application of algebraic entropy, we give a characteristic-free interpretation of the definition of Hilbert-Kunz multiplicity.

研究动机与目标

• 为诺特局部环上有限长度自同态定义并研究代数熵。
• 建立代数熵与拓扑熵类似的性质，例如迭代下的缩放性及同构下的不变性。
• 利用代数熵提供希尔伯特-昆恩多重性的特征无关解释。
• 探讨代数熵与科恩-麦克aul伊域中有限自同态次数之间的关系。
• 基于迭代下理想的增长，推导代数熵的上下界。

提出的方法

• 将代数熵定义为在迭代映射下，环模其极大理想幂次的长度的对数增长率。
• 使用 $ v(\varphi^n) $ 和 $ w(\varphi^n) $ 的概念，分别表示满足 $ \varphi^n(\mathfrak{m})^k \subseteq \mathfrak{m} $ 对所有 $ k \geq v(\varphi^n) $ 的最小整数与满足 $ \mathfrak{m}^{w(\varphi^n)} \subseteq \varphi^n(\mathfrak{m}) $ 的最大整数。
• 应用希尔伯特-萨穆埃尔多项式来估计长度 $ \ell_R(R/\mathfrak{m}^{v(\varphi^n)}) $ 和 $ \ell_R(R/\mathfrak{m}^{w(\varphi^n)}) $，表明它们以次数为 $ d $（即环的维数）的多项式形式增长。
• 通过对数增长率 $ v_h(\varphi) $ 和 $ w_h(\varphi) $ 建立代数熵的界，从而得到 $ 0 \leq d \cdot v_h(\varphi) \leq h_{\mathrm{alg}}(\varphi,R) \leq d \cdot w_h(\varphi) < \infty $。
• 证明若 $ w(\varphi^n) $ 有界，则 $ h_{\mathrm{alg}}(\varphi,R) = 0 $，利用 $ \ell_R(R/\mathfrak{m}^{c'}) $ 在 $ c' $ 有界时的有限性。
• 通过最小素理想的结构及商环上诱导映射的性质，证明环的熵等于其模最小素理想的商环熵的最大值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为诺特局部环上有限长度自同态定义代数熵？
• RQ2 代数熵是否满足与拓扑熵类似的性质，例如迭代下的缩放性及同构下的不变性？
• RQ3 代数熵能否提供希尔伯特-昆恩多重性的特征无关解释？
• RQ4 代数熵与科恩-麦克aul伊域中有限自同态次数之间有何关系？
• RQ5 代数熵在理想迭代增长下的上下界是什么？

主要发现

• 代数熵满足缩放性质：对所有 $ k \in \mathbb{N} $，有 $ h_{\mathrm{alg}}(\varphi^k, R) = k \cdot h_{\mathrm{alg}}(\varphi, R) $。
• 若 $ \mathfrak{a} $ 是 $ \varphi $-不变理想，则 $ h_{\mathrm{alg}}(\overline{\varphi}, R/\mathfrak{a}) \leq h_{\mathrm{alg}}(\varphi, R) $，这与拓扑熵在不变子空间上的性质类似。
• 代数熵在环同构下不变：$ h_{\mathrm{alg}}(f \circ \varphi \circ f^{-1}, R') = h_{\mathrm{alg}}(\varphi, R) $。
• 当所有最小素理想均为 $ \varphi $-不变时，环的熵等于其模最小素理想的商环熵的最大值：$ h_{\mathrm{alg}}(\varphi, R) = \max_i h_{\mathrm{alg}}(\overline{\varphi}_i, R/\mathfrak{p}_i) $。
• 若 $ w(\varphi^n) $ 有界，则 $ h_{\mathrm{alg}}(\varphi, R) = 0 $，且一般有 $ 0 \leq d \cdot v_h(\varphi) \leq h_{\mathrm{alg}}(\varphi, R) \leq d \cdot w_h(\varphi) < \infty $，其中 $ d $ 为 $ R $ 的维数。
• 在正特征下，弗罗贝尼乌斯自同态的代数熵为 $ d \cdot \log p $，而其拓扑熵为零，显示出两者概念的关键差异。