[论文解读] Dynamics and topological entropy of 1D Greenberg-Hastings cellular automata

Marc Keßeböhmer, Jens D. M. Rademacher+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2019

Cellular Automata and Applications参考文献 21被引用 3

一句话总结

该论文分析了一维Greenberg-Hastings元胞自动机在e ≥ 1个激发态和r ≥ 1个不应性态下的动力学与拓扑熵。它识别出一个与移位动力学的斜积共轭的Devaney混沌脉冲湮灭子系统，表明其拓扑熵严格为正，且高于由静态缺陷产生的马尔可夫子系统，且在e和r增大时表现出不同的标度行为。

ABSTRACT

In this paper we analyse the non-wandering set of 1D-Greenberg-Hastings cellular automata models for excitable media with $e\geqslant 1$ excited and $r\geqslant 1$ refractory states and determine its (strictly positive) topological entropy. We show that it results from a Devaney-chaotic closed invariant subset of the non-wandering set that consists of colliding and annihilating travelling waves, which is conjugate to a skew-product dynamical system of coupled shift-dynamics. Moreover, we determine the remaining part of the non-wandering set explicitly as a Markov system with strictly less topological entropy that also scales differently for large $e,r$.

研究动机与目标

• 该论文旨在表征一维Greenberg-Hastings元胞自动机在一般e ≥ 1和r ≥ 1情况下的非游荡集与拓扑熵。
• 它旨在理解e = r = 1情况之外的周期性动力学，特别是由于静态位错和缺陷而产生的复杂结构的出现。
• 该研究旨在将非游荡集分解为两部分：一个混沌脉冲湮灭子系统和一个低熵的马尔可夫子系统。
• 它研究了拓扑熵随e和r增加的标度行为，揭示了两种动力学分量的不同标度特性。
• 该目标包括提供完整的动力学描述，并计算系统的精确拓扑熵。

提出的方法

• 作者分析了在全移位空间X = AZ上定义的元胞自动机T，其状态空间为A = {0, 1, ..., e + r}，其中0为静止态，E = {1, ..., e}为激发态，R = {e+1, ..., e+r}为不应性态。
• 他们使用局部原像公式识别出在最终像中被排除于非游荡集之外的禁止3-块和n-块（n ≥ 4）。
• 通过反向传播的半无限多脉冲研究脉冲湮灭动力学，其中左行和右行脉冲发生碰撞并相互湮灭。
• 证明了在脉冲湮灭子集Z上的动力学与移位动力学的斜积拓扑共轭，从而实现精确熵的计算。
• 马尔可夫子系统被明确描述为一个有限状态马尔可夫链，其拓扑熵严格较低。
• 证明了整个系统的拓扑熵等于非游荡集的熵，且脉冲湮灭子系统的熵被计算为单个无限脉冲序列移位熵的两倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维Greenberg-Hastings元胞自动机中，当e ≥ 1和r ≥ 1时，非游荡集的结构是什么？
• RQ2 系统的拓扑熵在脉冲湮灭动力学与马尔可夫缺陷动力学之间如何分解？
• RQ3 脉冲湮灭动力学是否为Devaney混沌？如果是，它与已知动力系统如何共轭？
• RQ4 整个系统的精确拓扑熵是多少？它如何随e和r变化？
• RQ5 形式为(a, 0^{n-2}, b)的禁止块（其中a, b ∈ R且n ≥ 4）如何影响动力学与熵？

主要发现

• 一维Greenberg-Hastings元胞自动机的非游荡集Ω被分解为两个不相交的部分：一个Devaney混沌的脉冲湮灭子系统Z和一个低熵的马尔可夫子系统。
• 在Z上的脉冲湮灭动力学与耦合移位动力学的斜积拓扑共轭，从而实现精确熵的计算。
• 脉冲湮灭子系统的拓扑熵严格为正，且等于单个无限脉冲序列移位熵的两倍。
• 由静态位错和缺陷产生的马尔可夫子系统，其拓扑熵严格低于脉冲湮灭部分。
• 两个动力学分量随e和r增加的标度行为不同：脉冲湮灭熵随e + r线性增长，而马尔可夫部分呈次线性增长。
• 本文证明了形式为(a, 0^{n-2}, b)的禁止块（其中a, b ∈ R且n ≥ 4）不会出现在最终像中，从而限制了非游荡集。