[论文解读] Dynamics Compensation in Observation of Abstract Linear Systems

Hongyinping Feng, Xiaohui Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于抽象级联系统的统一观测器设计框架，以解决线性系统中传感器动态补偿与输出调节问题。通过将两个问题统一于同一抽象线性系统结构中，并采用带有调参算子的Luenberger型观测器，该方法在无需目标系统设计或李雅普诺夫函数构造的情况下，确保了观测误差的指数收敛，其有效性通过带时滞的常微分方程和具有常微分传感器动态的不稳定热方程得到验证。

ABSTRACT

This is the second part of four series papers, aiming at the problem of sensor dynamics compensation for abstract linear systems. Two major issues are addressed. The first one is about the sensor dynamics compensation in system observation and the second one is on the disturbance dynamics compensation in output regulation for linear system. Both of them can be described by the problem of state observation for an abstract cascade system. We consider these two apparently different problems from the same abstract linear system point of view. A new scheme of the observer design for the abstract cascade system is developed and the exponential convergence of the observation error is established. It is shown that the error based observer design in the problem of output regulation can be converted into a sensor dynamics compensation problem by the well known regulator equations. As a result, a tracking error based observer for output regulation problem is designed by exploiting the developed method. As applications, the ordinary differential equations (ODEs) with output time-delay and an unstable heat equation with ODE sensor dynamics are fully investigated to validate the theoretical results. The numerical simulations for the unstable heat system are carried out to validate the proposed method visually.

研究动机与目标

• 解决抽象线性系统中间接系统观测的传感器动态补偿问题。
• 利用统一观测器框架解决输出调节中的扰动动态补偿问题。
• 开发一种系统化、通用的观测器设计方法，适用于常微分方程与偏微分方程系统。
• 避免依赖目标系统选择与李雅普诺夫函数构造，克服PDE反推法中的常见挑战。
• 在具有时滞的有限维系统与具有无限维不稳定热方程的系统上验证该方法。

提出的方法

• 将传感器动态与输出调节问题建模为希尔伯特空间中由抽象线性演化方程控制的级联系统。
• 引入带有调参算子 F₁ 与 F₂ 的Luenberger型观测器，以从延迟或间接测量中估计全状态。
• 通过谱分析与通过调节方程实现的可逆变换，建立观测误差的适定性与指数收敛性。
• 利用调节方程将基于跟踪误差的观测器设计转化为传感器动态补偿问题，实现统一处理。
• 将该方法应用于具有输出时滞的常微分方程与具有常微分传感器动态的不稳定热方程，采用有限差分空间半离散化进行数值验证。
• 通过有限维投影的可观测性与无限维子系统的可检测性表征观测器增益的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 传感器动态补偿与输出调节能否被视为单一抽象级联系统观测器问题的实例？
• RQ2 如何为抽象级联系统设计Luenberger型观测器，而无需事先选定目标系统？
• RQ3 在该类系统中，何种条件可确保观测误差的指数收敛？
• RQ4 该方法能否应用于具有常微分传感器动态与无限维对象（如不稳定热方程）的系统？
• RQ5 如何利用调节方程统一输出调节与传感器动态补偿的观测器设计？

主要发现

• 所提出的观测器设计通过谱分析与可逆变换证明，可确保抽象级联系统中观测误差的指数收敛。
• 该方法避免了目标系统构建与李雅普诺夫函数推导，为PDE反推法提供了一种替代方案。
• 对于具有常微分传感器动态的不稳定热方程，观测器增益成功计算，数值模拟证实了状态与输出估计误差的平滑、有效收敛。
• 系统的有限维近似（N=1）是可观测的，且获得了赫尔维茨增益矩阵，确保了误差动态的稳定性。
• 通过调节方程的变换成功将输出调节问题与传感器动态补偿关联，实现了统一的观测器设计。
• 时间步长为4×10⁻⁵、空间步长为10⁻²的数值结果表明，状态与输出估计误差均实现了有效且平滑的收敛。