[论文解读] Dynamics in canonical models of loop quantum gravity

Ilkka Mäkinen|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 1

一句话总结

本论文提出了一种在环量子重力理论中用于去参量化模型的新型、数学上一致的哈密顿算符，该算符通过使用对称的曲率算符来简化动力学。该方法使哈密顿算符谱的微扰近似成为可能，并引入了一种基于相干态的新多项式表示方法来描述旋量耦合器，从而为量子引力动力学提供了几何视角。

ABSTRACT

In this thesis we consider the problem of dynamics in canonical loop quantum gravity, primarily in the context of deparametrized models, in which a scalar field is taken as a physical time variable for the dynamics of the gravitational field. The dynamics of the quantum states of the gravitational field is then generated directly by a physical Hamiltonian operator, instead of being implicitly defined through the kernel of a Hamiltonian constraint. We introduce a new construction of a Hamiltonian operator for loop quantum gravity, which has both mathematical and practical advantages in comparison to earlier proposals. Most importantly, the new Hamiltonian can be constructed as a symmetric operator, and is therefore a mathematically consistent candidate for a generator of physical time evolution in deparametrized models. We develop methods for approximately evaluating the dynamics generated by a given physical Hamiltonian, even if an exact solution to the eigenvalue problem of the Hamiltonian cannot be achieved. We also introduce a new representation for intertwiners in loop quantum gravity, based on projecting intertwiners onto coherent states of angular momentum, and in which intertwiners are represented as polynomials of certain complex variables, and operators in loop quantum gravity are expressed as differential operators acting on these variables. In addition to reviewing the results of the author's scientific work, this thesis also gives a thorough introduction to the basic framework of canonical loop quantum gravity, and a self-contained presentation of the graphical formalism for SU(2) recoupling theory, which is the invaluable tool for performing practical calculations in loop quantum gravity. The author therefore hopes that parts of this thesis could serve as a comprehensible source of information for anyone interested in learning the elements of loop quantum gravity.

研究动机与目标

• 为解决规范环量子重力理论中数学上一致且物理上合理动力学的长期挑战。
• 通过采用以标量场作为物理时间的去参量化方法，克服与哈密顿约束相关的技术难题。
• 构建一种新的哈密顿算符，其具有对称性，确保幺正时间演化，并通过曲率算符构造简化动力学。
• 提出一种新的旋量耦合器表示方法，将其表示为复变量上的多项式，从而实现对算符的几何解释。
• 提供实用方法，用于在精确解难以求得时近似物理哈密顿算符的谱。

提出的方法

• 在去参量化模型中，利用最近提出的曲率算符构造新的物理哈密顿算符，确保其作为对称算符的数学一致性。
• 通过将哈密顿算符的欧几里得部分视为对更简单的曲率算符的微扰，应用微扰理论，该方法在巴尔伯–伊梅尔茨参数值较大时有效。
• 通过投影到 SU(2) 相干态，采用新的旋量耦合器表示方法，将旋量耦合器表示为复变量上的多项式，算符则表示为微分算符。
• 在自旋网络基中，利用 SU(2) 耦合理论的图形形式（使用 3j-、6j-、9j- 和 12j- 符号）进行实际计算。
• 应用图形演算的基本定理——反转所有箭头和节点符号不改变图的值——以简化和验证复杂的耦合收缩。
• 通过利用已知的曲率算符本征值和本征态，实现数值近似，以估计完整哈密顿算符的谱。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在环量子重力理论的去参量化模型中构造出数学上一致且对称的哈密顿算符？
• RQ2 当完整哈密顿算符本征值问题无法求解时，如何近似引力场的动力学？
• RQ3 能否通过新的旋量耦合器表示方法，以几何方式表达哈密顿算符在自旋网络态上的作用？
• RQ4 在环量子重力理论中，微扰理论在多大程度上可应用于物理哈密顿算符，特别是当巴尔伯–伊梅尔茨参数较大时？
• RQ5 如何系统性地利用 SU(2) 耦合理论的图形形式，以简化并计算算符的矩阵元？

主要发现

• 所提出的哈密顿算符具有对称性，使其成为去参量化模型中生成幺正物理时间演化的数学上一致的候选者。
• 在哈密顿算符构造中使用曲率算符，显著简化了其结构，使计算更加可行。
• 对于较大的巴尔伯–伊梅尔茨参数，哈密顿算符的欧几里得部分可视为对曲率算符的微扰，从而可利用标准微扰理论近似完整哈密顿算符的谱。
• 新的旋量耦合器表示方法将旋量耦合器表示为复变量上的多项式，算符则作为微分算符作用，从而在角动量相干态参数化的单位向量意义上提供了几何解释。
• 图形形式，包括箭头和符号反转的基本定理，可系统性地将复杂的 SU(2) 耦合收缩（如 12j-符号）简化为 6j- 和 9j- 符号的乘积。
• 数值示例证实了近似方法的可行性，表明利用曲率算符的已知本征态，可合理准确地估计物理哈密顿算符的谱。