[论文解读] Dynamics in chemotaxis models of parabolic-elliptic type on bounded domain with time and space dependent logistic sources

Tahir Bachar Issa, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2016

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文在有界区域上建立了具有时变与空变逻辑斯蒂源项的抛物-椭圆型趋化系统经典解的全局存在性、有界性与唯一性。在趋化敏感度 $\chi$、逻辑斯蒂项 $a_1, a_2$ 以及空间维数 $n$ 满足一定条件时，证明了存在一个全局稳定且整体正的解，该解继承了系数的周期性或几乎周期性。研究结果拓展了对非均质环境中长期动力行为的理解。

ABSTRACT

This paper considers the dynamics of the following chemotaxis system $$ \begin{cases} u_t=Δu-χ abla (u\cdot abla v)+u\left(a_0(t,x)-a_1(t,x)u-a_2(t,x)\int_Ωu ight),\quad x\in Ω\cr 0=Δv+ u-v,\quad x\in Ω\quad \cr \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=0,\quad x\in\partialΩ, \end{cases} $$ where $Ω\subset \mathbb{R}^n(n\geq 1)$ is a bounded domain with smooth boundary $\partialΩ$ and $a_i(t,x)$ ($i=0,1,2$) are locally Hölder continuous in $t\in\mathbb{R}$ uniformly with respect to $x\in\barΩ$ and continuous in $x\in\barΩ$. We first prove the local existence and uniqueness of classical solutions $(u(x,t;t_0,u_0),v(x,t;t_0,u_0))$ with $u(x,t_0;t_0,u_0)=u_0(x)$ for various initial functions $u_0(x)$. Next, under some conditions on the coefficients $a_1(t,x)$, $a_2(t,x)$, $χ$ and $n$, we prove the global existence and boundedness of classical solutions $(u(x,t;t_0,u_0),v(x,t;t_0,u_0))$ with given nonnegative initial function $u(x,t_0;t_0,u_0)=u_0(x)$. Then, under the same conditions for the global existence, we show that the system has an entire positive classical solution $(u^*(x,t),v^*(x,t))$. Moreover, if $a_i(t,x)$ $(i=0,1,2)$ are periodic in $t$ with period $T$ or are independent of $t$, then the system has a time periodic positive solution $(u^*(x,t),v^*(x,t))$ with periodic $T$ or a steady state positive solution $(u^*(x),v^*(x))$. If $a_i(t,x)$ $(i=0,1,2)$ are independent of $x$ , then the system has a spatially homogeneous entire positive solution $(u^*(t),v^*(t))$. Finally, under some further assumptions, we prove that the system has a unique entire positive solution $(u^*(x,t),v^*(x,t))$ which is globally stable . Moreover, if $a_i(t,x)$ $(i=0,1,2)$ are periodic or almost periodic in $t$, then $(u^*(x,t),v^*(x,t))$ is also periodic or almost periodic in $t$.

研究动机与目标

• 研究具有时变与空变逻辑斯蒂源项的抛物-椭圆型趋化系统在有界区域上的长期动力行为。
• 在系数与趋化敏感度 $\chi$ 的一般条件下，建立经典解的存在性与有界性。
• 在适当假设系数与 $\chi$ 的条件下，证明存在唯一整体正解，该解全局稳定且继承时间系数的周期性或几乎周期性。
• 在逻辑斯蒂项与区域几何结构的不同结构性假设下，分析解的渐近行为。

提出的方法

• 通过不动点论证与Schauder估计，针对 $C^0(\bar{\Omega})$ 中的初始数据，建立经典解的局部存在性与唯一性。
• 利用能量估计与最大值原理技术，在 $\chi$、$a_1(t,x)$、$a_2(t,x)$ 与 $n$ 满足条件时，证明解的全局存在性与有界性。
• 通过 $t_0 \to -\infty$ 时从时间 $t_0$ 出发的解的极限过程，构造整体正解。
• 通过证明不同初始数据的解在 $C^0(\bar{\Omega})$ 中收敛于同一极限，证明整体正解的唯一性。
• 应用几乎周期性理论，证明唯一整体正解继承了系数 $a_i(t,x)$ 的几乎周期性。
• 利用比较原理与收敛性论证，建立整体正解在 $C^0(\bar{\Omega})$ 范数下的全局渐近稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有时变与空变逻辑斯蒂源项的抛物-椭圆型趋化系统存在全局经典解？
• RQ2 在系数与 $\chi$ 满足适当假设时，系统是否具有唯一整体正解，且该解全局稳定？
• RQ3 整体正解能否从时变逻辑斯蒂项 $a_i(t,x)$ 中继承周期性或几乎周期性？
• RQ4 趋化敏感度 $\chi$ 与逻辑斯蒂阻尼项 $a_1(t,x)$、$a_2(t,x)$ 之间的相互作用如何影响解的有界性与稳定性？
• RQ5 当 $t \to \infty$ 时，具有非负、非平凡初始数据的解的渐近行为如何？

主要发现

• 对于任意非负、非平凡初始数据，系统存在唯一整体正经典解 $(u^*(x,t), v^*(x,t))$，且在 $C^0(\bar{\Omega})$ 范数下全局稳定。
• 若系数 $a_i(t,x)$ 关于 $t$ 周期性，周期为 $T$，则唯一整体正解也具有相同周期 $T$。
• 若系数 $a_i(t,x)$ 与 $x$ 无关，则唯一整体正解为空间齐次解，即 $u^*(x,t) = u^*(t)$，$v^*(x,t) = v^*(t)$。
• 当 $a_i(t,x)$ 关于 $t$ 几乎周期时，唯一整体正解也关于 $t$ 几乎周期。
• 解收敛于整体正解的过程在空间上一致成立，满足 $\lim_{t \to \infty} \left( \|u(\cdot,t;t_0,u_0) - u^*(\cdot,t)\|_{C^0(\bar{\Omega})} + \|v(\cdot,t;t_0,u_0) - v^*(\cdot,t)\|_{C^0(\bar{\Omega})} \right) = 0$。
• 唯一性证明依赖于：当 $t_0 \to -\infty$ 时，从不同初始数据出发的解均收敛于同一极限，利用了解流的连续性与有界性。