[论文解读] Dynamics in parallel of double Boolean automata circuits

Mathilde Noual|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2010

Cellular Automata and Applications参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文研究双布尔自动机电路（dbac）的动力学，重点关注两个通过中心节点相连的环形电路。通过使用数论函数（如莫比乌斯函数和欧拉函数），推导出负-正和负-负 dbac 系统中吸引子和周期性配置的确切公式，表明吸引子数量仅取决于总大小 $N = \ell + r$ 和 $\Delta = \gcd(\ell, r)$，而与 $\ell$ 或 $r$ 的单独大小无关。

ABSTRACT

In this paper, we give some results concerning the dynamics of double Boolean automata circuits (dbac's for short), namely, networks associated to interaction graphs composed of two side-circuits that share a node. More precisely, we give formulas for the number of attractors of any period, as well as the total number of attractors of these networks.

研究动机与目标

• 理解双布尔自动机电路（dbac）的周期性动力学，特别是当一侧或双侧电路为负时的情况。
• 表征具有混合或负侧电路的 dbac 系统中吸引子和周期性配置的数量。
• 表明吸引子数量仅取决于总大小 $N = \ell + r$ 和 $\Delta = \gcd(\ell, r)$，而不取决于 $\ell$ 或 $r$ 的单独值。
• 使用数论函数（如莫比乌斯函数和欧拉函数）提供吸引子数量的组合公式。

提出的方法

• 将 dbac 建模为两个侧环共享一个中心节点的网络，其中局部转换由恒等函数或否定函数定义。
• 使用莫比乌斯反演公式计算精确周期为 $p$ 的配置数量，公式为 $\mathtt{C}_{p}^{\ast}(\ell,r) = \sum_{q|p} \mu(p/q) \cdot \mathtt{C}_{p}(\ell,r)$。
• 推导出 $p$-吸引子的数量为 $\mathtt{A}_{p}(\ell,r) = \frac{1}{p} \sum_{q|p} \mu(p/q) \cdot \mathtt{C}_{p}(\ell,r)$，其中 $\mathtt{C}_{p}(\ell,r)$ 依赖于 $P(p/\Delta_p)^{\Delta_p}$，适用于负-负系统。
• 应用函数 $P(k)$，其定义为长度为 $k$ 且不含两个连续 1 的二进制字符串的数量，以计算配置数量。
• 在最终的总吸引子公式中使用欧拉函数 $\psi$：$\mathtt{T}^{=}_{N,\Delta} = \frac{1}{N} \sum_{p|N} \psi(N/p) \cdot P(p/\Delta_p)^{\Delta_p}$。
• 通过计算机模拟验证并观察不同 $\ell, r$ 值和 $\gcd(\ell,r)$ 下的吸引子数量模式。

实验结果

研究问题

• RQ1 双布尔自动机电路中的吸引子周期如何依赖于侧电路的大小和符号？
• RQ2 在一个具有一个负侧电路和一个正侧电路的 dbac 中，周期性配置和吸引子的确切数量是多少？
• RQ3 双负 dbac 中的吸引子数量能否仅用 $N = \ell + r$ 和 $\Delta = \gcd(\ell, r)$ 表示？
• RQ4 莫比乌斯函数在这些系统中计数周期性配置和吸引子时起什么作用？
• RQ5 在给定 $N$ 的条件下，总吸引子数量在什么情况下达到最大？

主要发现

• 对于双负 dbac $D_{\ell,r}$，周期为 $p$ 的配置数量仅取决于 $p$ 和 $\Delta_p = \gcd(\Delta, p)$，其表达式为 $C_p(\ell,r) = P(p/\Delta_p)^{\Delta_p}$，其中 $P(k)$ 表示长度为 $k$ 且不含两个连续 1 的二进制字符串的数量。
• 双负 dbac 中 $p$-吸引子的数量为 $\mathtt{A}_p^{=} = \frac{1}{p} \sum_{q|p} \mu(p/q) \cdot P(q/\Delta_q)^{\Delta_q}$。
• 双负 dbac 的总吸引子数量为 $\mathtt{T}^{=}_{N,\Delta} = \frac{1}{N} \sum_{p|N} \psi(N/p) \cdot P(p/\Delta_p)^{\Delta_p}$，当 $K = N/\Delta$ 为素数时可简化。
• 当 $K = 2$ 时，$\mathtt{T}^{=}_{N,N/2} = \frac{1}{N} \sum_{q|N/2, \gcd(q,2)=1} \psi(q) \cdot 2^{N/(2q)}$，当 $K = 3$ 时，$\mathtt{T}^{=}_{N,N/3} = \frac{1}{N} \sum_{q|N/3, \gcd(q,3)=1} \psi(q) \cdot 3^{N/(3q)}$，其中 $P(2)=2$ 且 $P(3)=3$。
• 计算机模拟表明，$\mathtt{T}^{=}\!(\ell,r)$ 在 $\ell = r$ 时达到最大值；当 $N$ 不被 3 整除时，最大值出现在 $\Delta = N/2$ 时；当 $N$ 被 3 整除时，最大值出现在 $\Delta = N/3$ 时，尽管这些仍为开放猜想。
• 双负 dbac 的总吸引子数量仅取决于 $N = \ell + r$ 和 $\Delta = \gcd(\ell, r)$，而与 $\ell$ 和 $r$ 的单独值无关，该结论通过模拟和理论公式均得到证实。