[论文解读] Dynamics in several complex variables: endomorphisms of projective spaces and polynomial-like mapping

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|ArXiv.org|Oct 5, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 18

一句话总结

该论文运用全纯势论方法研究多复变数中的复动力系统，聚焦于复射影空间的自同态与类似多项式的映射。研究建立了预像向平衡测度的等分布性，证明了相关系数的指数衰减与K-混合性质，并通过DSH空间的紧致性及超势论方法，证明了该测度具有最大熵与适度性。

ABSTRACT

The emphasis of this course is on pluripotential methods in complex dynamics in higher dimension. They are based on the compactness properties of plurisubharmonic functions and on the theory of positive closed currents. Applications of these methods are not limited to the dynamical systems that we consider here. We choose to show their effectiveness and to describe the theory for two large families of maps. The first chapter deals with holomorphic endomorphisms of the projective space P^k. We establish the first properties and give several constructions for the Green currents and the equilibrium measure μ. The emphasis is on quantitative properties and speed of convergence. We then treat equidistribution problems and establish ergodic properties of μ: K-mixing, exponential decay of correlations for various classes of observables, central limit theorem and large deviations theorem. Finally, we study the entropy, the Lyapounov exponents and the dimension of μ. The second chapter develops the theory of polynomial-like maps in higher dimension. We introduce the dynamical degrees and construct the equilibrium measure μof maximal entropy. Then, under a natural assumption, we prove equidistribution properties of points and various statistical properties of the measure μ. The assumption is stable under small pertubations on the map. We also study the dimension of μ, the Lyapounov exponents and their variation. Our aim is to get a self-contained text that requires only a minimal background. In order to help the reader, an appendix gives the basics on p.s.h. functions, positive closed currents and super-potentials on projective spaces. Some exercises are proposed and an extensive bibliography is given.

研究动机与目标

• 使用全纯势论建立多复变数复动力系统的理论基础。
• 分析复射影空间 $\mathbb{P}^k$ 上全纯自同态的平衡测度的统计性质。
• 将等分布结果从点推广至子簇与周期点。
• 研究熵、李雅普诺夫指数与平衡测度的维数等动力与几何不变量。
• 发展高维类似多项式映射的理论，包括平衡测度的构造与等分布定理。

提出的方法

• 利用差值类次全纯次调和函数空间（DSH空间）的紧致性性质，控制收敛性与正则性。
• 通过拉回与归一化当前提升的极限构造格林当前 $T^p$，确保收敛速度估计。
• 应用 $dd^c$-方程与超势论方法，定义并分析正闭当前的楔积。
• 利用霍尔德连续性与容量估计，证明适度测度与指数函数的可积性。
• 借助哈托格斯收敛性与当前上的弱拓扑，确保在扰动下的稳定性。
• 通过迭代次数的度的渐近增长定义动力度与熵，进而导出最大熵测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，预像 $f^{-n}(a)$ 会等分布趋于平衡测度 $\mu$？
• RQ2 测度 $\mu$ 的统计性质（如相关系数的指数衰减与中心极限定理）如何依赖于可观测量的正则性？
• RQ3 一个类似多项式映射的动力度与其平衡测度的熵之间有何关系？
• RQ4 DSH空间的紧致性如何促成混合性与适度测度性质的证明？
• RQ5 在超势论的霍尔德连续性条件下，正闭 $(p,p)$-当前 $S$ 的平衡测度 $\mu$ 的豪斯多夫维数如何表示？

主要发现

• 对于 $\mathbb{P}^k$ 上的全纯自同态，所有不在全不变代数集 $\mathscr{E}$ 中的点 $a$，在 $f^{-n}(a)$ 上等分布的概率测度均收敛于平衡测度 $\mu = T^k$。
• 平衡测度 $\mu$ 是K-混合的，且对于DSH空间中的可观测量，其相关系数呈现指数衰减。
• 测度 $\mu$ 是适度的：对所有有界 $\varphi$ 属于DSH，有 $\int e^{\alpha|\varphi|} d\mu \leq c$，其中 $\alpha, c > 0$ 在有界集上一致。
• 类似多项式映射的平衡测度具有最大熵，且在自然的动力度条件下满足等分布性。
• 在超势论的霍尔德连续性条件下，对于正闭 $(p,p)$-当前 $S$，平衡测度 $\mu$ 的豪斯多夫维数严格大于 $2(k-p)$。
• 平衡测度 $\mu$ 满足中心极限定理与大偏差定理，其速率由可观测量的DSH范数控制。