[论文解读] Dynamics in Systems with Modulated Symmetries

Pablo Sala, Julius Lehmann+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

本文引入了广义的空间调制对称性——指数型与（准）周期型——扩展了多极子和子系统对称性。研究表明，此类对称性可导致非平衡动力学中的奇异行为：在一维系统中，它们诱导出由有限动量调制的扩散型关联标度；在高维系统中，它们产生具有晶格尺度空间振荡的亚扩散行为，并形成守恒的动量线/面；而指数调制则产生无限长寿命的边界关联。

ABSTRACT

We extend the notions of multipole and subsystem symmetries to more general {\it spatially modulated} symmetries. We uncover two instances with exponential and (quasi)-periodic modulations, and provide simple microscopic models in one, two and three dimensions. Seeking to understand their effect in the long-time dynamics, we numerically study a stochastic cellular automaton evolution that obeys such symmetries. We prove that in one dimension, the periodically modulated symmetries lead to a diffusive scaling of correlations modulated by a finite microscopic momentum. In higher dimensions, these symmetries take the form of lines and surfaces of conserved momenta. These give rise to exotic forms of sub-diffusive behavior with a rich spatial structure influenced by lattice-scale features. Exponential modulation, on the other hand, can lead to correlations that are infinitely long-lived at the boundary, while decaying exponentially in the bulk.

研究动机与目标

• 将多极子和子系统对称性推广至更广泛的具有空间调制特性的对称性类别，包括指数型与（准）周期型形式。
• 在1D、2D和3D中构建显式的微观模型，通过局部相互作用的随机细胞自动机实现这些对称性。
• 研究此类系统的长时间动力学行为，特别是调制对称性在塑造关联函数与输运行为中的作用。
• 阐明晶格尺度特征如何影响具有非对易空间对称性的系统中的宏观流体动力学行为。
• 建立动量空间中守恒动量超曲面与实空间中异常的空间衰减及振荡之间的联系。

提出的方法

• 通过形式化守恒荷 $\mathcal{Q}_{\{\alpha_{\bm{r}}\}} = \sum_{\bm{r}} \alpha_{\bm{r}} q_{\bm{r}}$ 来定义调制对称性，其中 $\alpha_{\bm{r}}$ 为具有空间调制特性的量。
• 采用具有局部门 $G_x = \{n_{-1}, n_0, n_{+1}\}$ 的随机细胞自动机框架，以模拟动力学并强制实现对称性。
• 推导 $\alpha_j$ 的递推关系，使得 $\alpha_{j+2} = \frac{p}{q}\alpha_{j+1} - \alpha_j$，从而在门动力学下保证守恒性。
• 通过动量空间中守恒动量流形的逆傅里叶变换分析实空间关联的衰减行为。
• 对动量空间中闭合回路的渐近积分应用驻定相位近似，得到在一般方向上的 $r^{-1/2}$ 衰减。
• 通过参数化动量空间超曲面（如2D中的双曲弧）上的积分，数值评估实空间调制 $\alpha(\bm{r})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 空间调制对称性（超越标准多极子或子系统对称性）如何影响量子系统的长时间动力学？
• RQ2 与非均匀动量空间流形相关的守恒量在实空间中的结构与衰减行为如何？
• RQ3 在2D与3D中，若存在守恒的动量线或面，将如何导致亚扩散或振荡的关联动力学？
• RQ4 对称荷的指数调制是否可导致系统边界处出现无限长寿命的关联？
• RQ5 晶格尺度特征在具有非平移不变守恒量的系统中，对宏观流体动力学的影响程度如何？

主要发现

• 在一维系统中，周期性调制的对称性导致关联的扩散型标度，且受有限微观动量调制，表现出微观尺度上的振荡。
• 在二维与三维系统中，守恒动量流形表现为闭合曲线或曲面，导致具有丰富空间振荡的亚扩散行为，其特征受晶格尺度特征的影响。
• 对于指数调制的对称性，实空间守恒量在一般方向上按 $r^{-1/2}$ 衰减，边界处存在长寿命关联，而体相则呈指数衰减。
• 由于在动量空间回路中驻定相位近似作用于方向矢量与回路法向重合的点，实空间调制的渐近衰减遵循 $r^{-1/2}$ 规律。
• 即使在非一般情形或对动量空间中的方形区域积分时，衰减依然缓慢，某些构型下呈现 $r^{-1}$ 增强。
• 对参数化动量空间曲线（如双曲弧）上逆傅里叶变换的数值评估揭示了复杂的空间振荡与缓慢衰减，验证了理论预测。