[论文解读] Dynamics of a Tube Conveying Fluid

Shuhei Shima, Tamotsu MIZUGUCHI|ArXiv.org|May 16, 2001

Vibration and Dynamic Analysis被引用 5

一句话总结

本文提出一个非线性积分微分方程，用于建模在一般边界条件下输送流体的管道的动力学行为，揭示了固支管道经历霍普夫分支诱导的颤振，而铰支管道则表现出平面对称性破缺分支驱动的旋转不稳定性。数值模拟验证了这些不稳定性，并表明当系统趋近连续极限时，临界值收敛至理论预测值。

ABSTRACT

A tube conveying a large amount of fluid with a free outlet does not sit still. We construct and analyze a nonlinear evolution equation describing such phenomena. Two types of boundary conditions at the inlet are considered, one for which it is clamped and one for which it is hinged. Analyzing the linear stability of the trivial solution, we find that with the former boundary conditions, it exhibits a ``flutter'' instability, while with the latter boundary conditions, it exhibits a ``rotation'' instability. These instabilities and the nonlinear behaviors of the system are also studied numerically.

研究动机与目标

• 开发一个最小化、物理上合理的模型，用于描述在一般入口边界条件下大振幅运动的输送流体管道。
• 分析平凡（直线）状态的线性稳定性，并根据边界条件确定不稳定性的类型（颤振或旋转）。
• 推导并数值验证一个非线性演化方程，以捕捉线性不稳定性及后续的非线性动力学行为。
• 确认离散模型的临界值在 N → ∞ 时收敛至理论连续极限。

提出的方法

• 构建一个具有 N 个关节和 N 个区段的离散铰接模型，使用与角度相关的力来建模弹性力、流体流动力和黏性力。
• 使用拉格朗日乘子强制保持各段长度不变，推导出关于角度 θn 的 N 个独立演化方程。
• 取连续极限（N → ∞），得到描述管道形状与动力学的非线性积分微分方程。
• 通过求解特征值问题对平凡解进行线性稳定性分析，识别不稳定的临界参数。
• 对有限 N 的演化方程进行数值模拟，以观察分岔类型并验证向理论极限的收敛性。
• 将数值临界值（εc(N), Tc(N), εh(N)）拟合为函数 a/(N−b)+c，外推至 N→∞ 极限，以验证理论预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 当入口固支（固定位置与方向）时，输送流体的管道会引发何种类型的不稳定性？
• RQ2 当入口铰支（仅固定位置）时，系统行为如何？其运动起始由何种分岔机制控制？
• RQ3 从离散模型推导出的非线性演化方程是否能准确预测不稳定性起始，并在连续极限下收敛至理论值？
• RQ4 随着区段数 N 增加，临界流参数（εc, εh）与振荡频率（ωc）的行为如何变化？
• RQ5 惯性与非惯性版本的管道模型在非线性动力学行为上存在哪些定性差异？

主要发现

• 固支管道在 εc ≈ 37.69 处经历霍普夫分岔，导致持续的振荡性颤振运动。
• 铰支管道在 εh ≈ 20.16 处经历涉及戈德斯通模态的平面对称性破缺分岔，引发自发旋转不稳定性。
• 数值模拟表明，临界值 εc(N)、Tc(N) 和 εh(N) 随着 N → ∞ 而收敛至理论极限，其中 εc(N) → 38.0 ± 0.9，εh(N) → 20.3 ± 0.6。
• 分岔为超临界，表现为临界点之后变形幅度随 ε 单调增加。
• 惯性效应导致更复杂的动力学行为：固支管道表现出周期倍化通往混沌的路径，而铰支管道则经历第二次霍普夫分岔，随后发生周期倍化。
• 该模型适用于抽吸与排出口管道，因为流体力仅源于各点动量的变化。