[论文解读] Dynamics of composite entire functions

Dinesh Kumar, Gopal Datt+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Meromorphic and Entire Functions参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文通过逼近理论构造了具有指定动力行为的超越整函数 $ f $ 和 $ g $，研究了复合整函数的动力学。结果表明，$ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 的动力学行为可能与 $ f $ 和 $ g $ 显著不同，证明了在各种配置下，某些区域可能位于复合函数的游荡、周期或预周期分支中。

ABSTRACT

It is known that the dynamics of $f$ and $g$ vary to a large extent from that of its composite entire functions. Using Approximation theory of entire functions, we have shown the existence of entire functions $f$ and $g$ having infinite number of domains satisfying various properties and relating it to their composition. We have explored and enlarged all the maximum possible ways of the solution in comparison to the past result worked out.

研究动机与目标

• 探讨复合整函数 $ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 的动力学与单个函数 $ f $ 和 $ g $ 的动力学之间的差异，特别是它们在 Fatou 集分支中的表现。
• 利用逼近技术扩展关于超越整函数动力学中游荡区域和分支类型的研究结果。
• 显式构造具有无限多个区域的整函数 $ f $ 和 $ g $，使其在复合后表现出特定的动力学行为。
• 分析奇异值、渐近值与分支类型（游荡、周期、预周期）在复合函数动力学中的关系。
• 通过提供新的例子，推广已知的整函数半群动力学结果，其中 $ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 展现出不同的动力结构。

提出的方法

• 利用整函数逼近理论，构造整函数 $ f = e^{\gamma(z)} $ 和 $ g = e^{\gamma_1(z)} $，使得 $ f $ 和 $ g $ 在特定区域取指定值。
• 定义一个闭集 $ S $（即 Carleman 集），并在 $ S $ 上构造连续且在内部解析的函数 $ \alpha(z), \beta(z), \epsilon(z), \epsilon_1(z) $，以控制 $ f $ 和 $ g $ 在互不相交区域中的行为。
• 应用 Mergelyan 型逼近，找到整函数 $ \gamma(z) $ 和 $ \gamma_1(z) $，使得 $ |\gamma(z) - \alpha(z)| < \epsilon(z) $ 且 $ |\gamma_1(z) - \beta(z)| < \epsilon_1(z) $，从而确保 $ f(z) = e^{\gamma(z)} $ 和 $ g(z) = e^{\gamma_1(z)} $ 满足所需的不等式。
• 利用 $ e^z $ 的连续性，确保 $ f(z) $ 和 $ g(z) $ 在互不相交的区域 $ G_k, B_k, L_k, M_k $ 中保持接近特定值（如 $ \pm 2, \pm 6, \pm 10, \dots $），从而实现对 Fatou 集中分支类型的有效控制。
• 通过追踪迭代如何映射这些区域，分析 $ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 的动力学，识别其位于周期、预周期或游荡分支中的情况。
• 应用已知的 Fatou 集与奇异值结果（例如来自 [29] 的结论），关联 $ f, g, f \circ g, g \circ f $ 的动力学，特别关注渐近值和临界值的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造整函数 $ f $ 和 $ g $，使得某个区域位于 $ f $ 和 $ g $ 的游荡分支中，却位于 $ f \circ g $ 的周期分支中？
• RQ2 在何种条件下，一个区域可同时位于 $ f $ 和 $ g $ 的游荡分支中，也位于 $ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 的游荡分支中？
• RQ3 是否可能使一个区域位于 $ f $ 和 $ g $ 的周期分支中，却位于 $ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 的游荡分支中？
• RQ4 当 $ f $ 和 $ g $ 具有不同的分支类型（如周期与游荡）时，$ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 的动力学如何比较？
• RQ5 渐近值和临界值在决定 $ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 的分支类型中起什么作用？

主要发现

• 本文构造了整函数 $ f $ 和 $ g $，使得 $ G_1 $ 中的区域位于 $ f $、$ g $ 和 $ g \circ f $ 的预周期分支中，但位于 $ f \circ g $ 的游荡分支中，展示了复合动力学中的非对称性。
• 区域 $ B_1 $ 位于 $ f $ 的周期分支中，位于 $ g $ 的游荡分支中，位于 $ g \circ f $ 的游荡分支中，但位于 $ f \circ g $ 的周期分支中，表明 $ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 可能具有不同的分支结构。
• 对于 $ k \geq 3 $，区域 $ G_k $ 位于 $ f $ 和 $ g $ 的游荡分支中，也位于 $ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 的游荡分支中，确认了在某些配置下行为的一致性。
• 对于 $ k \geq 4 $，区域 $ B_k $ 位于 $ f $、$ g $、$ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 的游荡分支中，表明复合动力学可在多次复合后保持游荡行为。
• 该构造证实了 $ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 可能具有不同的动力结构：例如，$ G_2 $ 位于 $ f $ 和 $ g \circ f $ 的周期分支中，但位于 $ f \circ g $ 的游荡分支中，说明复合动力学中存在非对称性。
• 本文确立了 $ f \circ g $ 和 $ g \circ f $ 的动力学并不总是相似，即使 $ f $ 和 $ g $ 是整函数，通过显式构造出分支类型不同的例子予以证明。