[论文解读] Dynamics of groups of automorphisms of character varieties and Fatou/Julia decomposition for Painlevé 6

Julio C. Rebelo, Roland K. W. Roeder|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2021

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 4

一句话总结

本文研究了由仿射三次曲面定义的特征簇上全纯自同构群的动力系统，聚焦于 Painlevé 6 方程。文章引入了该群作用的 Fatou-Julia 分解，证明了 Julia 集具有非平凡内部，并包含一个稠密轨道，同时在参数空间的一个开集内建立了局部离散与非离散动力学之间的二分法。

ABSTRACT

We study the dynamics of the group of holomorphic automorphisms of the affine cubic surfaces \begin{align*} S_{A,B,C,D} = \{(x,y,z) \in \mathbb{C}^3 \, : \, x^2 + y^2 + z^2 +xyz = Ax + By+Cz+D\}, \end{align*} where $A,B,C,$ and $D$ are complex parameters. We focus on a finite index subgroup $Γ_{A,B,C,D} < { m Aut}(S_{A,B,C,D})$ whose action not only describes the dynamics of Painlevé 6 differential equations but also arises naturally in the context of character varieties. We define the Julia and Fatou sets of this group action and prove that there is a dense orbit in the Julia set. In order to show that the Julia set is ``large'' we consider a second dichotomy, between locally discrete and locally non-discrete dynamics. For an open set in parameter space, $\mathcal{N} \subset \mathbb{C}^4$, we show that there simultaneously exists an open set in $S_{A,B,C,D}$ on which $Γ_{A,B,C,D}$ acts locally discretely and a second open set in $S_{A,B,C,D}$ on which $Γ_{A,B,C,D}$ acts locally non-discretely. After removing a countable union of real-algebraic hypersurfaces from $\mathcal{N}$ we show that $Γ_{A,B,C,D}$ simultaneously exhibits a non-empty Fatou set and also a Julia set having non-trivial interior. The open set $\mathcal{N}$ contains a natural family of parameters previously studied by Dubrovin-Mazzocco. The interplay between the Fatou/Julia dichotomy and the locally discrete/non-discrete dichotomy plays a major theme in this paper and seems bound to play an important role in further dynamical studies of holomorphic automorphism groups.

研究动机与目标

• 分析与 Painlevé 6 方程相关的特征簇上全纯自同构群的全局动力系统。
• 为群 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ 在仿射三次曲面 $S_{A,B,C,D}$ 上的作用定义并刻画 Fatou 集与 Julia 集。
• 研究参数空间中 Fatou/Julia 二分法与局部离散/非离散动力学二分法之间的相互作用。
• 证明在参数的一个满维开集上，Fatou 集与 Julia 集均非空，且 Julia 集具有非平凡内部。
• 证明 Julia 集内存在一个稠密轨道，表明该集合上存在混沌动力系统。

提出的方法

• 将群 $\mathcal{G}_{A,B,C,D} = \langle g_x, g_y, g_z \rangle$ 定义为 $\mathrm{Aut}(S_{A,B,C,D})$ 的二阶子群，其中 $g_x = s_z \circ s_y$ 等，$s_x, s_y, s_z$ 为平行于坐标轴的直线所定义的对合映射。
• 将 Fatou 集 $\mathcal{F}_{A,B,C,D}$ 定义为在群作用下具有正规族行为的点的集合，而 Julia 集 $\mathcal{J}_{A,B,C,D}$ 定义为其补集。
• 利用局部离散与局部非离散动力学的概念，定义第二种二分法，识别出群以不同动力行为作用的区域。
• 构造一个拓扑维数为 3 的不变集 $\mathscr{B}_{A,B,C,D}$，作为局部离散与非离散动力学区域之间的公共边界。
• 应用定理 H，证明在原点附近或 Dubrovin-Mazzocco 参数附近，某些群元素的换位子满足双曲性与压缩性条件，从而确保曲面中的球体避开无界 Fatou 像素。
• 从参数空间 $\mathcal{P} \subset \mathbb{C}^4$ 中移除可数个实代数超曲面，以保证 Fatou 集与 Julia 集均非空，且 Julia 集具有非平凡内部。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般参数下，群 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ 在 $S_{A,B,C,D}$ 上的作用是否具有非平凡内部的非空 Julia 集？
• RQ2 Julia 集是否可能在群作用下包含一个稠密轨道？
• RQ3 在参数空间中，Fatou/Julia 二分法与局部离散/非离散动力学二分法如何相互作用？
• RQ4 离散与非离散动力学区域边界的拓扑结构是什么？
• RQ5 在如 Markoff、Picard 与 Dubrovin-Mazzocco 等特殊参数附近，动力系统行为如何？

主要发现

• 在参数空间 $\mathcal{P} \subset \mathbb{C}^4$ 的一个开集上，群 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ 在 $S_{A,B,C,D}$ 的开子集上同时表现出局部离散与局部非离散的动力行为，其公共边界包含一个拓扑维数为 3 的不变集 $\mathscr{B}_{A,B,C,D}$。
• 从 $\mathcal{P}$ 中移除可数个实代数超曲面后，群 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ 的 Fatou 集与 Julia 集均非空，且 Julia 集具有非平凡内部。
• Julia 集 $\mathcal{J}_{A,B,C,D}$ 包含一个稠密轨道，表明该集合上存在混沌动力系统。
• 在原点附近及 Dubrovin-Mazzocco 参数附近，生成元某些换位子的动力行为满足条件，确保 $S_{A,B,C,D}$ 中的球体避开无界 Fatou 像素。
• 群 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ 在一个开集 $U$ 上局部非离散地作用，且该 $U$ 对所有 $\mathcal{P} \setminus \mathcal{H}$ 中的参数均包含于 Julia 集中，从而保证 $U \subset \mathcal{J}_{A,B,C,D}$。
• Fatou/Julia 与离散/非离散二分法之间的相互作用是动力系统的核心，预计将在未来对复曲面上全纯自同构群的研究中发挥关键作用。