[论文解读] Dynamics of metrics in measure spaces and their asymptotic invariants

A. M. Vershik|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 31

一句话总结

本文引入了尺度熵作为保测度群作用的广义度量不变量，用Kantorovich距离的迭代度量替代传统的可测划分。研究表明，尺度熵能捕捉渐近几何复杂性——在ℤ^d上的随机环境中的随机游走中，尺度熵以n^{d/2}的速度增长，即使在d > 4时系统为Bernoulli，也能区分非同构的滤子。

ABSTRACT

We discuss the Kolmogorov's entropy and Sinai's definition of it; and then define a deformation of the entropy, called {\it scaling entropy}; this is also a metric invariant of the measure preserving actions of the group, which is more powerful than the ordinary entropy. To define it, we involve the notion of the $ε$-entropy of a metric in a measure space, also suggested by A. N. Kolmogorov slightly earlier. We suggest to replace the techniques of measurable partitions, conventional in entropy theory, by that of iterations of metrics or semi-metrics. This leads us to the key idea of this paper which as we hope is the answer on the old question: what is the natural context in which one should consider the entropy of measure-preserving actions of groups? the same question about its generalizations--scaling entropy, and more general problems of ergodic theory. Namely, we propose a certain research program, called {\it asymptotic dynamics of metrics in a measure space}, in which, for instance, the generalized entropy is understood as {\it the asymptotic Hausdorff dimension of a sequence of metric spaces associated with dynamical system.} As may be supposed, the metric isomorphism problem for dynamical systems as a whole also gets a new geometric interpretation.

研究动机与目标

• 为遍历理论中熵及其推广的自然几何框架提供补充。
• 用迭代度量替代可测划分，作为定义熵不变量的基础。
• 建立尺度熵作为比Kolmogorov熵更强大的不变量，尤其适用于零熵系统。
• 通过度量渐近动力学，为度量同构问题提供几何解释。
• 通过源自度量迭代的渐近不变量，对滤子和动力系统进行分类，特别是在随机环境中的随机游走背景下。

提出的方法

• 基于Kolmogorov早期的概念，使用度量测度空间的ε-熵，作为尺度熵的基础。
• 从初始可接受度量ρ出发，通过划分元素上条件测度之间的Kantorovich距离，构造一系列半度量{ρₙ}。
• 利用该度量序列的动力学特性提取渐近不变量，如尺度熵，以反映系统长期的几何行为。
• 将迭代度量构造应用于马尔可夫过程产生的滤子，特别是ℤ^d上具有i.i.d. Bernoulli环境的随机游走。
• 分析度量序列的渐近行为以判断标准性：若收敛至退化度量，则滤子为标准（即Bernoulli）滤子。
• 通过与d维格子上等价于n^{d/2}的序列{cₙ}对尺度熵进行归一化，将群的增长与几何尺度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在遍历理论中，定义熵及其推广的自然几何框架是什么？
• RQ2 测度空间中度量的动力学如何替代可测划分为熵理论的基础？
• RQ3 即使系统为Bernoulli，尺度熵是否仍能区分非同构滤子？
• RQ4 在ℤ^d上的随机游走过程中，迭代度量序列的渐近行为如何？
• RQ5 归一化序列{cₙ}的增长率与随机游走滤子中格子的维数d有何关系？

主要发现

• 尺度熵是比Kolmogorov熵更强大的不变量，能够区分Kolmogorov熵为零的系统。
• 当且仅当滤子为标准（即Bernoulli）时，迭代度量序列{ρₙ}收敛至退化度量，从而提供了标准性的几何判据。
• 对于ℤ^d上随机环境中的随机游走，尺度熵以n^{d/2}的速度增长，且归一化序列{cₙ}与n^{d/2}等价。
• 在不同维数d下，ℤ^d上随机游走的过去滤子彼此非同构，即使d > 4且所有系统均为Bernoulli。
• 该结果表明，不同维数格子上的马尔可夫移位无法相互可逆编码，尽管所有系统在d > 4时均为Bernoulli。
• 度量的渐近动力学为度量同构问题提供了几何解释，将其与极限度量空间的Hausdorff维数联系起来。