[论文解读] Dynamics of nonlocal and local discrete Ginzburg–Landau equations: Global attractors and their congruence

D. Hennig|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 54被引用 8

一句话总结

该论文在 l² 范数下建立了局部离散 Ginzburg-Landau 方程（L-DGL）与非局部离散 Ginzburg-Landau 方程（NL-DGL）解对初值的连续依赖性，证明在一般条件下解始终保持 O(ϵ³) 以内接近。在耗散区域（δ > 1）中，严格证明了两者的全局吸引子一致，确认尽管非线性项不同，其长期动力学仍具有结构相似性。

ABSTRACT

Discrete Ginzburg–Landau (DGL) equations with non-local nonlinearities have been established as significant inherently discrete models in numerous physical contexts, similar to their counterparts with local nonlinear terms. We study two prototypical examples of non-local and local DGLs on the one-dimensional infinite lattice. For the non-local DGL, we identify distinct scenarios for the asymptotic behavior of the globally existing in time solutions depending on certain parametric regimes. One of these scenarios is associated with a restricted compact attractor according to J. K. Hale's definition. We also prove the closeness of the solutions of the two models in the sense of a “continuous dependence on their initial data” in the l2 metric under general conditions on the intrinsic linear gain or loss incorporated in the model. As a consequence of the closeness results, in the dissipative regime we establish the congruence of the attractors possessed by the semiflows of the non-local and of the local model respectively, for initial conditions in a suitable domain of attraction defined by the non-local system. © 2021 Elsevier Ltd

研究动机与目标

• 分析两种典型离散 Ginzburg-Landau 方程解的渐近行为：一种具有局部立方非线性（L-DGL），另一种具有非局部非线性（NL-DGL）。
• 研究 L-DGL 与 NL-DGL 解在时间演化过程中于 l² 范数下保持接近的条件。
• 在耗散区域（δ > 1）中，建立两个系统全局吸引子的存在性及其结构等价性（同构性）
• 阐明无限格点系统中非局部与局部模型之间的动力学关系，特别是关于长期行为与稳定性的关系。

提出的方法

• 在无限一维格点 Z 上对 L-DGL 与 NL-DGL 方程进行形式分析，变量 un 与 vn 为复值振幅。
• 引入差值变量 ∆n = un − vn 以量化两种模型之间解的偏离程度。
• 应用能量估计与 Gronwall 型不等式，以控制解差的 l² 范数 ||u(t) − v(t)||l²。
• 采用 Hale 的受限紧致吸引子定义，刻画在不同参数区域下的渐近动力学行为。
• 推导出在初值扰动为 ϵ³ 阶时解接近性的统一有界性，且常数与时间 t 无关。
• 利用接近性结果，在耗散情形（δ > 1）中证明吸引子同构性，即 L-DGL 与 NL-DGL 的吸引子在 NL-DGL 的吸引域内完全重合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，局部与非局部离散 Ginzburg-Landau 方程的解在时间演化过程中于 l² 范数下保持接近？
• RQ2 参数区域（δ > 1 与 δ ≤ 1）如何影响两种模型的长期行为与稳定性？
• RQ3 在耗散区域（δ > 1）中，L-DGL 与 NL-DGL 系统的全局吸引子是否同构？
• RQ4 非局部与局部非线性在塑造离散 Ginzburg-Landau 系统渐近动力学中起何作用？
• RQ5 在适当的初值约束下，非局部模型的吸引子能否作为局部模型吸引子的代理？

主要发现

• 当 δ > 1 时，L-DGL 与 NL-DGL 的解在所有 t ∈ (0, ∞] 内于 l² 范数下保持 O(ϵ³) 接近，且该界与时间无关。
• 在 δ > 1 区域中，解差的上极限满足 lim supₜ→∞||∆(t)||l² ≤ C₁ϵ³，表明具有渐近稳定性。
• 当 δ ≤ 1 时，解差在任意有限时间区间 [0, Tf] 上有界，且界为 C₂ϵ³，其中 C₂ 依赖于 Tf。
• 在无阻尼情形（δ = 1）中，l² 距离随时间最多线性增长；当 δ < 1 时，其增长最多为指数级。
• 在耗散区域（δ > 1）中，L-DGL 与 NL-DGL 系统的全局吸引子对初始条件在 NL-DGL 吸引域内同构。
• 通过连续依赖性结果建立了吸引子同构性，证实尽管非线性项不同，其长期动力学仍具有结构等价性。