[论文解读] Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups

Hiroki Sumi|ArXiv.org|Mar 20, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 39被引用 15

一句话总结

本文研究了具有有界平面后临界集的多项式半群的动力学，证明了朱利亚集的连通分支按嵌套关系排序，并构造了具有任意有限或可数无限个分支的示例。本文证明了在非连通朱利亚集中存在不可数无穷多个拟圆，且随机朱利亚集几乎必然为若尔当曲线但非拟圆，揭示了经典有理映射之外多项式半群动力学中的新现象。

ABSTRACT

We investigate the dynamics of semigroups generated by a family of polynomial maps on the Riemann sphere such that the postcritical set in the complex plane is bounded. Moreover, we investigate the associated random dynamics of polynomials. We show that for such a polynomial semigroup, if $A$ and $B$ are two connected components of the Julia set, then one of $A$ and $B$ surrounds the other. Moreover, we show that for any $n\in \Bbb{N} \cup \{\aleph_{0}\} ,$ there exists a finitely generated polynomial semigroup with bounded planar postcritical set such that the cardinality of the set of all connected components of the Julia set is equal to $n.$ Furthermore, we show that under a certain condition, a random Julia set is almost surely a Jordan curve, but not a quasicircle. Many new phenomena of polynomial semigroups and random dynamics of polynomials that do not occur in the usual dynamics of polynomials are found and systematically investigated.

研究动机与目标

• 分析具有有界平面后临界集的多项式半群的朱利亚集的拓扑结构。
• 研究非连通朱利亚集中的纤维动力学与拟共形结构。
• 对具有有界后临界集的紧生成、(半-)双曲多项式半群进行分类。
• 研究多项式随机动力学，并刻画随机朱利亚集的几乎必然性质。
• 构造具有朱利亚集连通分支任意指定基数的多项式半群示例。

提出的方法

• 在纤维丛上使用一致纤维拟共形手术，当朱利亚集非连通时，构造不可数无穷多个拟圆。
• 应用拓扑引理和有理半群的性质，分析朱利亚集中连通分支的环绕顺序。
• 利用向后自相似性与紧致性论证，研究后临界集的结构及其与朱利亚集的关系。
• 使用函数复合与正规族分析半群动力学及双曲性条件。
• 构造具有受控临界值与动力学的显式多项式族，以实现期望的朱利亚集结构。
• 利用Teichmüller理论与随机动力系统的结果，推导随机朱利亚集的几乎必然性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于后临界有界的多项式半群的朱利亚集，其连通分支在拓扑上如何排序？
• RQ2 能否构造出具有任意给定有限或可数无限个连通分支的多项式半群？
• RQ3 当朱利亚集非连通时，其结构如何？其中存在何种拟共形结构？
• RQ4 在何种条件下，随机朱利亚集几乎必然为若尔当曲线但非拟圆？
• RQ5 如何对具有有界平面后临界集的紧生成、(半-)双曲多项式半群进行分类？

主要发现

• 对于后临界有界的多项式半群的朱利亚集中的任意两个连通分支，其中一个必环绕另一个，从而确立了完全的环绕序。
• 对于每个基数 $ n \in \mathbb{N} \cup \{\aleph_0\} $，均存在一个有限生成的多项式半群，其具有有界平面后临界集，且其朱利亚集恰好有 $ n $ 个连通分支。
• 若朱利亚集非连通，则存在不可数无穷多个相互不相交的拟圆，其伸长系数一致，且参数化由康托集给出，这些拟圆在朱利亚集中稠密嵌入。
• 在某些条件下，随机朱利亚集几乎必然为若尔当曲线，但非拟圆，揭示了随机复动力系统中的新现象。
• 本文对具有有界平面后临界集的紧生成、(半-)双曲多项式半群提供了完整的分类。
• 本文证明了此类半群的朱利亚集即使在单个生成元均为双曲映射时，仍可为非连通，展示了经典动力系统中所不存在的新动力行为。