[论文解读] Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups I: connected components of the Julia sets

Hiroki Sumi|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用 8

一句话总结

本文研究了具有有界平面后临界集的多项式半群的动力学，证明其朱利亚集的连通分支按'包围'关系呈层级排列——即一个分支包围另一个分支，从而导致结构约束：每个弗劳欧组件要么单连通要么双连通，且朱利亚集为一致完备。本文建立了连通分支数量的上界，并构造出具有任意指定有限或可数无限基数的连通分支数目的例子，揭示了经典多项式动力学中所不存在的新现象。

ABSTRACT

We investigate the dynamics of semigroups generated by a family of polynomial maps on the Riemann sphere such that the postcritical set in the complex plane is bounded. The Julia set of such a semigroup may not be connected in general. We show that for such a polynomial semigroup, if $A$ and $B$ are two connected components of the Julia set, then one of $A$ and $B$ surrounds the other. From this, it is shown that each connected component of the Fatou set is either simply or doubly connected. Moreover, we show that the Julia set of such a semigroup is uniformly perfect. An upper estimate of the cardinality of the set of all connected components of the Julia set of such a semigroup is given. By using this, we give a criterion for the Julia set to be connected. Moreover, we show that for any $n\in \Bbb{N} \cup \{\aleph_{0}\} ,$ there exists a finitely generated polynomial semigroup with bounded planar postcritical set such that the cardinality of the set of all connected components of the Julia set is equal to $n.$ Many new phenomena of polynomial semigroups that do not occur in the usual dynamics of polynomials are found and systematically investigated.

研究动机与目标

• 分析具有有界平面后临界集的多项式半群的朱利亚集的拓扑结构。
• 理解此类半群的动力学与经典有理函数或多项式动力学的差异。
• 在后临界有界性条件下，刻画弗劳欧集与朱利亚集的连通性特征。
• 建立朱利亚集连通性的判别准则，并对连通分支数量进行上界估计。
• 构造出任意生成元有限的多项式半群，使其朱利亚集具有指定的连通分支基数。

提出的方法

• 将多项式半群定义为在黎曼球面上由多项式族生成的半群。
• 引入后临界有界半群的概念，即有限后临界集在 ℂ 中有界。
• 使用包围序关系：对于朱利亚集的任意两个连通分支 A 和 B，其中一个包围另一个。
• 应用反向自相似性与迭代函数系统技术，分析朱利亚集的结构。
• 利用拓扑与动力学约束，证明朱利亚集的一致完备性。
• 通过在具有不动点且临界值受控的多项式上进行扰动，显式构造出可实现任意期望连通分支数目的例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在后临界有界的多项式半群中，朱利亚集的连通分支之间在拓扑上如何关联？
• RQ2 此类半群中弗劳欧组件可能的连通类型有哪些？
• RQ3 朱利亚集是否可以不连通，但仍保持其分支之间的结构化层级关系？
• RQ4 此类半群中朱利亚集的连通分支数量存在何种上界？
• RQ5 对于任意给定的基数 n ∈ ℕ ∪ {ℵ₀}，是否存在一个有限生成的多项式半群，其朱利亚集恰好有 n 个连通分支？

主要发现

• 对于后临界有界的多项式半群的朱利亚集的任意两个连通分支 A 和 B，其中一个必须包围另一个，从而确立了层级排序关系。
• 此类半群的弗劳欧集的每个连通分支要么单连通，要么双连通，排除了更高连通性。
• 此类半群的朱利亚集为一致完备，意味着其无孤立点，并表现出强烈的拓扑稠密性。
• 基于动力学与临界结构，建立了朱利亚集连通分支数量的上界。
• 对每个 n ∈ ℕ ∪ {ℵ₀}，均存在一个有限生成的多项式半群，其后临界集有界，且其朱利亚集恰好有 n 个连通分支。
• 本文通过在临界值受控且具有不动点的多项式上进行扰动，显式构造了此类例子。