[论文解读] Dynamics of regular birational maps in P^k

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|ArXiv.org|Jun 18, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 7

一句话总结

该论文通过使用 dd^c-分解技术构造双次数为 (p,p) 的 Green 上同调，证明了复射影空间 ℙ^k 上正规有理自同态的平衡测度的存在性与极值性。证明了这些上同调是极值的，且其楔积产生一个混合不变测度，将原本仅适用于自同构的结果推广至更广泛的有理自同态类，包括正规多项式自同构的小扰动。

ABSTRACT

We develop the study of some spaces of currents of bidegree (p,p). As an application we construct the equilibrium measure for a large class of birational maps of P^k as intersection of Green currents. We show that these currents are extremal and that the corresponding measure is mixing.

研究动机与目标

• 将平衡测度理论从多项式自同构推广至 ℙ^k 上更广泛的有理自同态类。
• 为具有基点集的正规有理自同态定义并研究双次数为 (p,p) 的 Green 上同调。
• 证明这些上同调的极值性以及其关联平衡测度的混合性质。
• 将 dd^c-分解方法推广至处理由基点集引起的奇点上同调。
• 证明正规多项式自同构的小扰动仍属于正规有理自同态类。

提出的方法

• 使用 dd^c-分解技术定义并分析具有基点的映射下上同调的拉回。
• 引入空间 PC_p(V)，即在基点集附近具有受控增长的正闭 (p,p)-上同调。
• 通过测试形式的递归分解控制迭代拉回的增长并建立收敛性。
• 在正向不变集 U^+_∞ 上建立归一化迭代拉回 d^{-np}f^{n*}(T) 的弱收敛性，收敛于 T^p_+。
• 利用上同调论证与 DSH 上同调的正则化方法，证明极限上同调与初始上同调 T 无关。
• 利用 f^* 与 f_* 在上同调上满足类似对偶关系的事实，通过公式 ⟨f^{n*}(T),Φ⟩ = ⟨T, f_*(Φ)⟩（在正则化意义下）建立关键关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 ℙ^k 中的正规有理自同态，即使该映射不是自同构，其平衡测度是否可作为 Green 上同调的交集来构造？
• RQ2 双次数为 (p,p) 的 Green 上同调是否为极值的，即任何被其控制的正闭 (p,p) 上同调是否必为其倍数？
• RQ3 由这些上同调构造的平衡测度 μ = T^s_+ ∧ T^{k-s}_- 是否表现出混合行为？
• RQ4 当映射具有基点时，如何在高余维情形下有意义地定义上同调的拉回？
• RQ5 正规多项式自同构的小扰动在多大程度上保持正则性条件及极值 Green 上同调的存在性？

主要发现

• 对于任意质量为 1 的 T ∈ PC_p(V)，归一化拉回 d^{-np}f^{n*}(T) 在 U^+_∞ 上弱收敛于 T^p_+。
• Green 上同调 T^p_+ 是极值的：若 S ≤ T^p_+ 且 S 为正闭 (p,p) 上同调，则在 U^+_∞ 中有 S = cT^p_+，其中 c = ||S||。
• 平衡测度 μ = T^s_+ ∧ T^{k-s}_- 是不变的、混合的，且其支撑集位于 U^+ ∩ U^-。
• 动力度满足 d_p = d^p（1 ≤ p ≤ s）与 δ_q = δ^q（1 ≤ q ≤ k−s），且 d^s = δ^{k−s}。
• 该方法可推广至有理非可逆映射及随机迭代，表明其在有理自同态之外亦具广泛适用性。
• d^{-np}f^{n*}(T) 的收敛性在 PC_p(V) 中有界族上是一致的，确保极限上同调的稳定性。