[论文解读] Dynamics of Renyi entanglement entropy in local quantum circuits with charge conservation

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2019

Quantum many-body systems参考文献 30被引用 56

一句话总结

该论文证明，在具有电荷守恒的局域量子电路中，当电荷输运为扩散型时，Rényi 纠缠熵 Rα（α > 1）的增长至多为 O(√t ln t)。该结果通过基于 Schmidt 秩的分析以及 Eckart-Young 定理推导得出，表明 Rényi 熵的增长是输运动力学的探针——与冯诺依曼熵的线性增长形成对比。该界是紧致的，近期的数值结果已证实其在次对数修正范围内达到饱和。

ABSTRACT

In local quantum circuits with charge conservation, we initialize the system in random product states and study the dynamics of the Renyi entanglement entropy $R_\alpha$. We rigorously prove that $R_\alpha$ with Renyi index $\alpha>1$ at time $t$ is $\le O(\sqrt{t\ln t})$ if the transport of charges is diffusive. Very recent numerical results of Rakovszky et al. show that this upper bound is saturated (up to the sub-logarithmic correction) in random local quantum circuits with charge conservation.

研究动机与目标

• 建立具有电荷守恒的局域量子电路中 Rényi 纠缠熵 Rα（α > 1）的严格上界。
• 证明 Rα 的增长可作为量子输运的探针，尤其在扩散型动力学下。
• 通过尺度分析将该界推广至亚扩散或超扩散输运区域。
• 将理论界与近期数值结果关联，显示该界在随机局域电路中达到饱和。

提出的方法

• 采用一个两体自旋链，其中子系统 A 位于中心，初始态为 σx 基下的随机纯态。
• 对中心截面处的 |00⟩ 态施加投影 P，利用电荷的扩散传播特性来限制与初始态的重叠。
• 构建一个修正电路 V(t,0)，在保持纠缠结构的同时，以误差界为 e−Ω(m²/t) 的方式近似原始电路 U(t,0)。
• 利用 Eckart-Young 定理来限制演化态的最大 Schmidt 系数 λ1，通过 R∞(ρA) = −ln Λ1 将其与 Rényi 熵关联。
• 使用马尔可夫不等式证明：以高概率（≥1−1/p(t)），态保持在投影子空间附近，从而确保该界对大多数初始态成立。
• 通过优化区域尺寸 m = O(√t ln t) 来最小化熵界，平衡误差与纠缠增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有电荷守恒且输运为扩散型的局域量子电路中，Rényi 纠缠熵 Rα（α > 1）的上界是什么？
• RQ2 Rα 的增长如何与系统的输运特性相关联？
• RQ3 该界能否推广至亚扩散或超扩散输运区域？
• RQ4 所导出的上界是否紧致，是否与数值观测结果一致？

主要发现

• 当电荷输运为扩散型时，Rényi 纠缠熵 Rα（α > 1）以高概率（≥1−1/p(t)）被上界控制在 O(√t ln t) 内。
• 近期的数值结果已证实，该界在随机局域量子电路中（具有电荷守恒）达到饱和（仅存在次对数修正）。
• Rα 的增长与输运机制密切相关：在扩散型输运下，其增长为次线性（O(√t ln t)），与冯诺依曼熵的线性增长形成鲜明对比。
• 对于具有尺度距离 ∼tz（0 < z < 1）的亚扩散或超扩散输运，该界可推广为 O(tz poly ln t)。
• 证明依赖于 Schmidt 分解与 Eckart-Young 定理，以限制最大 Schmidt 系数，该系数控制最小熵，从而控制 Rα。
• 该结果适用于一般扩散型输运，无需局域酉操作的随机性，因此对电路结构具有鲁棒性。