[论文解读] Dynamics of Rogue Waves in the Partially PT-symmetric Nonlocal Davey-Stewartson Systems

Bo Yang, Yong Chen|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文通过达布变换方法推导了部分PT-对称非局部达维-Stewartson系统中的广义畸形波解。结果表明，基本畸形波源于恒定背景，并在空间中整个双曲线上发展出有限时间奇点；而多畸形波与新型混合波型则源于与暗/反暗有理波的相互作用——展现出与局部系统不同的新动力学行为。

ABSTRACT

In this work, we study the dynamics of rogue waves in the partially $\cal{PT}$-symmetric nonlocal Davey-Stewartson(DS) systems. Using the Darboux transformation method, general rogue waves in the partially $\cal{PT}$-symmetric nonlocal DS equations are derived. For the partially $\cal{PT}$-symmetric nonlocal DS-I equation, the solutions are obtained and expressed in term of determinants. For the partially $\cal{PT}$-symmetric DS-II equation, the solutions are represented as quasi-Gram determinants. It is shown that the fundamental rogue waves in these two systems are rational solutions which arises from a constant background at $t ightarrow -\infty$, and develops finite-time singularity on an entire hyperbola in the spatial plane at the critical time. It is also shown that the interaction of several fundamental rogue waves is described by the multi rogue waves. And the interaction of fundamental rogue waves with dark and anti-dark rational travelling waves generates the novel hybrid-pattern waves. However, no high-order rogue waves are found in this partially $\cal{PT}$-symmetric nonlocal DS systems. Instead, it can produce some high-order travelling waves from the high-order rational solutions.

研究动机与目标

• 研究部分PT-对称非局部达维-Stewartson系统中的畸形波动力学，该系统扩展了具有平衡增益与损耗的可积非线性模型。
• 确定这些非局部系统中是否存在高阶畸形波，与局部及非局部DS方程中的已知解进行对比。
• 探索基本畸形波与有理行波相互作用下新型混合波型的产生机制。
• 比较非局部与局部DS系统中畸形波的参数条件与结构特性，尤其关注奇点行为与时间演化特征。
• 通过变量变换建立病态非局部解与适定局部解之间的联系，揭示新的解路径。

提出的方法

• 应用达布变换（DT）方法，为部分PT-对称非局部DS-I与DS-II方程构造广义有理解。
• 将非局部DS-I方程的解表示为行列式形式，非局部DS-II方程的解表示为拟Gram行列式形式。
• 利用二元达布变换生成非局部DS-II系统的解，实现多畸形波与混合波型的构造。
• 通过调节有理解中的参数，分析基本畸形波的时空演化，包括其在临界时刻的奇点行为。
• 应用变量变换（如 $x \to -ix$, $t \to -t$）将病态非局部解与适定局部解（如局部DS-I方程中的高阶畸形波）关联起来。
• 分析解的奇点结构，识别出基本畸形波在空间平面上整个双曲线上发生有限时间爆破的特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 在部分PT-对称非局部DS系统中，基本畸形波是否表现出有限时间奇点？若存在，其奇点发生在何种空间结构上？
• RQ2 能否在这些非局部系统中构造多畸形波解？其奇点发生时间点与局部系统中的有何不同？
• RQ3 基本畸形波与暗波及反暗有理行波相互作用后，会涌现出何种新型波型？
• RQ4 在部分PT-对称非局部DS系统中是否存在高阶畸形波？抑或其有理解仅产生高阶行波？
• RQ5 非局部系统中畸形波生成的参数条件与局部DS方程相比如何，特别是非线性项符号 $\epsilon$ 的影响？

主要发现

• 在部分PT-对称非局部DS-I与DS-II系统中，基本畸形波为有理解，源于恒定背景，并在空间平面上整个双曲线上发展出有限时间奇点。
• 由多有理解生成的多畸形波解表现出成对或时间区间内的奇点发生时间点，与局部系统中单一点爆破的特征不同。
• 发现一种新型混合波型，将基本畸形波与暗波及反暗有理行波结合，形成包含三种不同波型的解——此前在局部或非局部DS系统中未见报道。
• 在部分PT-对称非局部DS系统中未发现高阶畸形波；相反，高阶行波由高阶有理解产生。
• 非局部DS-II系统中具有全时间奇点的病态解，可通过简单的变量变换转化为局部DS-I方程中的适定高阶畸形波。
• 在非局部DS-I系统中，$\epsilon = \pm 1$ 时均存在畸形波，而在局部DS-II系统中仅当 $\epsilon = 1$ 时存在，表明两者在参数依赖性上存在关键差异。