[论文解读] Dynamics of several rigid bodies in a two-dimensional ideal fluid and convergence to vortex systems

Olivier Glass, Franck Sueur|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文研究二维不可压缩理想流体中多个刚体的动力学，证明当某些刚体的尺寸在不同惯性标度下趋于零时，其运动收敛于点涡系统，而较大刚体则遵循牛顿动力学。关键结果通过新颖的正规型分析与一致的流体速度估计，建立了向耦合流体-涡旋系统的收敛性，并给出了精确的渐近行为。

ABSTRACT

We consider the motion of several solids in a bounded cavity filled with a perfect incompressible fluid, in two dimensions. The solids move according to Newton's law, under the influence of the fluid's pressure, and the fluid dynamics is driven by the 2D incompressible Euler equations, which are set on the time-dependent domain corresponding to the cavity deprived of the sets occupied by the solids. We assume that the fluid vorticity is initially bounded and that the circulations around the solids may be non-zero. The existence of a unique corresponding solution, \\`a la Yudovich, to this system, up to a possible collision, is known. In this paper we identify the limit dynamics of the system when the radius of some of the solids converge to zero depending on how, for each body, the inertia is scaled with the radius. We obtain in the limit some point vortex systems for the solids converging to particles and a form of Newton's law for the solids that have a fixed radius; for the fluid we obtain an Euler-type system. This extends earlier works to the case of several moving rigid bodies. A crucial point is to understand the interaction, through the fluid, between small moving solids, and for that we use some normal forms of the ODEs driving the motion of the solids in two steps: first we use a normal form for the system coupling the time-evolution of all the solids to obtain a rough estimate of the acceleration of the bodies, then we turn to some normal forms that are specific to each small solid, with an appropriate modulation related to the influence of the other solids and of the fluid vorticity, to obtain some precise uniform a priori estimates of the velocities of the bodies, and then pass to the limit.

研究动机与目标

• 分析多个刚体在二维不可压缩理想流体中半径趋于零时的极限动力学。
• 将先前关于单一体极限的结果扩展至多体情形，其中固体间的流体介导相互作用使分析更加复杂。
• 根据每个小刚体惯性随半径缩放方式的不同，识别出不同的极限行为——导致点涡或牛顿动力学。
• 基于正规型与一致流体速度估计，建立新的分析框架以处理耦合的流体-固体系统。
• 严格地取极限，建立流体与固体动力学向定义良好的涡旋系统及欧拉型方程的收敛性。

提出的方法

• 在初始涡度有界且环量非零的时变区域上，应用Yudovich型存在性理论处理流体-固体系统。
• 引入两步正规型约化：首先对耦合的固体系统进行约化，然后对每个小固体单独进行正规型约化以估计加速度。
• 在存在小固体的条件下，应用Kirchhoff势能与反射环量流函数的形状导数估计。
• 推导流体速度场相对于固体的一致估计，改进了具有指定环量的散度/旋度系统的反射方法。
• 使用调制能量估计来控制在标度极限下系统的演化。
• 通过紧致性论证与时间局部收敛性分析，在紧致时间区间上取极限，处理流体与固体方程的极限过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当多个刚体在二维不可压缩流体中的半径趋于零时，其运动行为如何？
• RQ2 当小固体的惯性随尺寸不同缩放时（特别是重体与轻体），其极限动力学是什么？
• RQ3 多个运动固体之间的流体介导相互作用如何影响向涡旋系统的收敛？
• RQ4 标准的单体极限技术能否推广到多体情形，还是需要新的分析工具？
• RQ5 对流体速度相对于固体的统一控制在建立向涡旋极限收敛性中起到什么作用？

主要发现

• 小刚体在半径趋于零时的极限动力学取决于其惯性缩放方式：若为轻体则收敛为点涡，若为重体则遵循牛顿动力学。
• 对于固定尺寸的固体，极限系统满足一种形式的牛顿定律，与二维欧拉方程耦合。
• 流体速度场在极限固体位置的补集上一致收敛于二维欧拉方程的解。
• 该收敛性在任意紧致时间区间 $[0,T]$ 上成立，前提是极限系统无碰撞，且固体与流体涡度支撑保持正距离。
• 证明依赖于新颖的两步正规型约化，以及对流体速度相对于固体位置与半径的一致估计。
• 分析表明，只要极限中不发生碰撞，极限系统在与原始流体-固体系统相同的条件下是适定的。