[论文解读] Dynamics of SIR model with vaccination and heterogeneous behavioral response of individuals modeled by the Preisach operator

Jana Kopfová, Petra Nábělková+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文通过引入 Preisach 滞留算子来刻画个体对流行病的异质性行为反应，将经典的 SIR 模型扩展为可动态调整的疫苗接种率，该疫苗接种率依赖于感染史。在滞留算子满足自然凸性假设的前提下，证明了系统全局收敛至无感染平衡点或一组地方性平衡点，且排除了周期轨道的存在。

ABSTRACT

We study global dynamics of an SIR model with vaccination, where we assume that individuals respond differently to dynamics of the epidemic. Their heterogeneous response is modeled by the Preisach hysteresis operator. We present a condition for the global stability of the infection-free equilibrium state. If this condition does not hold true, the model has a connected set of endemic equilibrium states characterized by different proportion of infected and immune individuals. In this case, we show that every trajectory converges either to an endemic equilibrium or to a periodic orbit. Under additional natural assumptions, the periodic attractor is excluded, and we guarantee the convergence of each trajectory to an endemic equilibrium state. The global stability analysis uses a family of Lyapunov functions corresponding to the family of branches of the hysteresis operator.

研究动机与目标

• 建模流行病控制中个体行为反应的异质性，特别是作为感染史函数的疫苗接种率。
• 分析由 Preisach 滞留算子驱动的时变疫苗接种率下 SIR 模型的全局动力学行为。
• 建立系统全局收敛至地方性平衡点状态或无感染平衡点的充分条件。
• 在滞留算子满足自然凸性假设的前提下，排除持久振荡行为（周期轨道）的存在。
• 为 Preisach 算子的多分支结构设计一族适用于稳定性分析的 Lyapunov 函数。

提出的方法

• 使用 Preisach 滞留算子建模个体行为反应，该算子可捕捉疫苗接种决策中的非速率依赖性记忆效应。
• 提出一种改进的 SIR 模型，其状态依赖的疫苗接种率 $ v(t) $ 由基于感染水平的 Preisach 算子输出决定。
• 应用一族 Lyapunov 函数 $ V_k(I,S) $，每个函数对应 Preisach 算子的一个不同分支，用于分析不同轨迹弧段的稳定性。
• 利用 Preisach 算子环路的凸性（假设 A）以确保 Lyapunov 函数水平集的凸性，从而支持全局收敛性论证。
• 分析 Preisach 算子分支切换点处的轨迹行为，追踪感染人群与易感人群的演化过程。
• 采用前向唯一性与有界性论证，排除无界或病态行为（包括无限振荡或感染的灭绝）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由 Preisach 驱动的疫苗接种率所决定的 SIR 模型会全局收敛至无感染平衡点？
• RQ2 当无感染平衡点不稳定时，地方性平衡点集合的结构是怎样的？
• RQ3 系统中是否可能出现周期轨道？在何种条件下可排除其存在？
• RQ4 Preisach 滞留算子如何随时间建模疫苗接种行为中的异质性行为反应？
• RQ5 Preisach 算子环路的凸性在确保地方性平衡点全局稳定性方面起到何种作用？

主要发现

• 建立了无感染平衡点的全局稳定性条件，该条件依赖于模型参数及 Preisach 算子的结构。
• 当无感染平衡点不稳定时，系统存在一个连通的地方性平衡点集合，其中感染与免疫个体的比例各不相同。
• 每条轨迹要么收敛至地方性平衡点，要么收敛至周期轨道，具体取决于系统动力学与参数取值。
• 在凸性假设（A）下，周期轨道被排除，从而保证每条轨迹均收敛至地方性平衡点状态。
• 感染人群数量的下确界远离零，确保地方性平衡点存在时传播持续存在。
• 为 Preisach 算子不同分支量身定制的 Lyapunov 函数族，使得尽管系统具有非光滑、滞留性动力学，仍能实现严格的全局稳定性分析。