[论文解读] Dynamics of trap models

Gérard Ben Arous, Cerny, Jiri|ArXiv.org|Mar 14, 2006

Theoretical and Computational Physics参考文献 39被引用 57

一句话总结

本文研究了无序系统中陷阱模型的长时间动力学，重点关注老化现象与标度极限。研究证明，通过 $\alpha$-稳定局部时过程， arcsine 分布普遍支配平均场自旋玻璃中的老化行为，其极限行为源于局部时过程与 Lévy 测度的势论收敛性。

ABSTRACT

These notes cover one of the topics of the class given in the Les Houches Summer School ``Mathematical statistical physics'' in July 2005. The lectures tried to give a summary of the recent mathematical results about the long-time behaviour of dynamics of (mean-field) spin-glasses and other disordered media. We have chosen here to restrict the scope of these notes to the dynamics of trap models only, but to cover this topic in somewhat more depth.

研究动机与目标

• 理解平均场自旋玻璃动力学的长时间行为，特别是老化与亚稳态现象。
• 证明陷阱模型作为复杂无序系统有效粗粒化描述的合理性。
• 在不同陷阱模型设定下，确立 arcsine 定律在老化现象中的普遍性。
• 通过局部时过程收敛，推导一维及更高维陷阱动力学的标度极限。
• 为 Bouchaud 提出的唯象陷阱模型提供严格的数学基础。

提出的方法

• 通过在亚稳态（陷阱）图上的马尔可夫跳跃过程建模无序系统的动力学，转移速率由陷阱时间分布决定。
• 在一维情形中，利用层级结构上的连续时间随机游走导出 Fontes-Isopi-Newman 奇异扩散作为标度极限。
• 应用势论方法，通过其 Lévy 测度的弱收敛来刻画局部时过程的收敛性。
• 利用局部时过程及其首达时理论，推导出 arcsine 分布作为普遍老化分布。
• 通过潜在测度与 Lévy 测度的拉普拉斯变换，证明有限维分布的收敛性及在 Skorokhod 拓扑下的紧致性。
• 确立关键结果：$V(T(x)-)/x$ 沿分布收敛至参数为 $\alpha$ 的广义 arcsine 分布，对应于 $\alpha$-稳定局部时过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 陷阱模型的动力学在长时间极限下如何表现出老化现象？
• RQ2 陷阱模型在一维及更高维下的普遍标度极限是什么？
• RQ3 为何 arcsine 分布在平均场自旋玻璃中作为普遍老化分布出现？
• RQ4 在何种条件下，局部时过程在 Skorokhod 拓扑下弱收敛？
• RQ5 势论方法如何用于刻画陷阱时间极限行为？

主要发现

• 在一维情形，陷阱模型收敛至 Fontes-Isopi-Newman 奇异扩散，其老化行为由 arcsine 分布刻画。
• 在高维情形，标度极限由分数阶动力学过程描述，老化由 $\alpha$-稳定局部时过程支配。
• arcsine 分布普遍作为停留在陷阱中时间比例的极限分布出现，其密度为 $\frac{\sin\alpha\pi}{\pi}u^{\alpha-1}(1-u)^{-\alpha}$，定义在 $[0,1]$ 上。
• 通过 Lévy 测度的弱收敛及有限维分布的紧致性，确立了局部时过程的收敛性。
• 对于 $\alpha$-稳定局部时过程，首达时 $T(x)$ 满足 $\mathbb{P}[V(T(x)-)/x \leq u] = \mathop{\mathsf{Asl}}\nolimits_{\alpha}(u)$，证明 arcsine 分布作为普遍老化机制。
• 局部时过程跨越区间 $[a,b]$ 的概率为 $\mathop{\mathsf{Asl}}\nolimits_{\alpha}(a/b)$，证实 arcsine 分布在老化过程中的普遍性。