[论文解读] Dynamics of Two Coupled van der Pol Oscillators with Delay Coupling Revisited

M. I. Gluzman, Richard H. Rand|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过在慢流中保留时滞项，重新研究了两个时滞耦合的范德波尔振子的动力学行为，与以往将时滞近似为非时滞项的研究形成对比。本文推导了DDE慢流的超越特征方程的级数解，表明忽略时滞会导致霍普夫分岔临界时滞的误差达3%–15%，而采用三阶截断可将误差降低至1%以下。

ABSTRACT

The problem of two van der Pol oscillators coupled by velocity delay terms was studied by Wirkus and Rand in 2002. The small-epsilon analysis resulted in a slow flow which contained delay terms. To simplify the analysis, Wirkus and Rand followed a common procedure of replacing the delay terms by non-delayed terms, a step said to be valid for small epsilon, resulting in a slow flow which was an ODE rather than a DDE (delay-differential equation). In the present paper we consider the same problem but leave the delay terms in the slow flow, thereby offering an evaluation of the approximate simplification made previously.

研究动机与目标

• 将两个时滞耦合范德波尔振子的慢流重新表达为保留时滞项的形式，而非将其近似为非时滞项。
• 评估文献中常见简化方法的准确性，即在慢流中用非时滞变量替代时滞变量。
• 推导并分析来自DDE慢流的超越特征方程的级数解。
• 量化在慢流中忽略时滞项所引入的误差，特别是对霍普夫分岔临界时滞预测的影响。
• 将解析近似（一阶、二阶和三阶截断）与DDE系统的数值积分结果进行比较。

提出的方法

• 使用双变量摄动法推导以拉伸时间τ表示的慢流，保留时滞项。
• 应用林德施特特定理法，获得对称模态的周期近似，其中振幅和频率已针对ε和时滞T进行修正。
• 围绕对称模态线性化系统，推导出偏离量的DDE，从而得到包含时滞变量的DDE慢流。
• 从DDE慢流推导出超越特征方程，通过小ε的级数展开求解（公式41、42）。
• 将解析近似（级数的一阶、二阶和三阶截断）与DDE的数值积分结果进行比较。
• 采用绝对误差、相对误差和百分比误差指标评估临界时滞预测中的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在慢流中保留时滞项如何影响对两个时滞耦合范德波尔振子霍普夫分岔的预测？
• RQ2 在慢流中用非时滞变量替代时滞变量所引入的误差量级是多少？
• RQ3 与数值积分相比，DDE慢流的解析级数近似有多准确？
• RQ4 在耦合强度α和时滞T为何值时，三阶级数近似在临界时滞预测中的误差可低于1%？
• RQ5 对于ε = 0.5，一阶近似中的最大误差出现在何处，其量级是多少？

主要发现

• 级数解的一阶截断（等价于将时滞替换为非时滞项）在预测霍普夫分岔临界时滞时，误差为3%–15%，具体取决于ε的取值。
• 当ε = 0.5时，一阶近似中的最大绝对误差达到0.2218，百分比误差为13.11%，主要源于忽略了时滞效应。
• 三阶截断将ε = 0.5时的最大百分比误差降低至0.71%，表明当包含高阶时滞效应时，其精度显著提高。
• 在所有测试的ε值下，一阶、二阶和三阶近似的绝对误差、相对误差和百分比误差的最大值均出现在α = 1处。
• DDE慢流（公式26）–（27）的数值积分结果作为误差评估的基准，表明三阶级数近似与该基准高度一致。
• 图1中的虚线曲线（一阶近似）在较高α值时明显偏离数值结果（以加号标记），证实了非时滞简化方法的不准确性。