[论文解读] Dynamics on character varieties: a survey

Richard D. Canary|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 12

一句话总结

本综述研究了外自同构群 Out(Γ) 在特征簇 X(Γ, G) 上的作用动力学，聚焦于词超曲群 Γ 和半单李群 G。研究证明，Out(Γ) 在 Anosov 表示（凸共形紧致表示的高阶类比）上作用为真离散，并在 X(Γ, PSL(2,ℂ)) 中识别出比以往已知更大的离散域，甚至包括非离散或非忠实的表示。

ABSTRACT

We survey recent work on the dynamics of the outer automorphism group of a word hyperbolic group on spaces of (conjugacy classes of) representations ofthe group into a semi-simple Lie group G. All these results are motivated by the fact that the mapping class group of a closed surface acts properly discontinuously on the Teichmuller space of the surface. We explore two settings. 1) The work of Guichard, Labourie and Wienhard establishing the proper discontinuity of the action of outer automorphism groups on spaces of Anosov representations. 2) The work of Canary, Gelander, Lee, Magid, Minsky and Storm on the case where the domain group is the fundamental group of a compact 3-manifold with boundary and G=PSL(2,C).

研究动机与目标

• 将经典结果——映射类群在 Teichmüller 空间上真离散作用——推广至词超曲群的外自同构群。
• 理解 Out(Γ) 在表示到半单李群 G 的共轭类空间 X(Γ, G) 上的动力学行为。
• 识别 Out(Γ) 作用的离散域，其范围超越凸共形紧致表示，特别是在 Γ = π₁(M)（M 为带边界的紧致 3-流形）的情形下。
• 探讨是否存在动力学二分法：将 X(Γ, G) 分解为真离散域与混沌集。

提出的方法

• 利用 Anosov 表示的理论——由 Labourie 引入并由 Guichard-Wienhard 推广——作为凸共形紧致性的高阶类比。
• 应用几何群论技术，包括在对称空间中到测地线的拟等距嵌入和拟-Lipschitz 重投影。
• 在 δ-超曲空间中使用 W-细三角形的概念，以控制距离并证明投影下集合的不相交性。
• 通过将投影投射到测地线段上构造群作用的基本域，并利用最近点重投影的 (1,T)-拟-Lipschitz 性质。
• 应用最近点重投影 p_ij 来控制凸包 C_Γ 中点在测地线 A_i 和 A_j 上投影之间的距离。
• 基于距离界限和细三角形性质的反证法，证明测地线 A_i 与 A_j 之间的距离必须一致有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在词超曲群 Γ 和半单李群 G 的条件下，Out(Γ) 在 X(Γ, G) 上何时作用为真离散？
• RQ2 Out(Γ) 的离散域能否在 X(Γ, PSL(2,ℂ)) 中超越凸共形紧致表示的范围？
• RQ3 Anosov 表示在高阶李群中作为凸共形紧致表示的自然推广，在多大程度上成立？
• RQ4 Out(Γ) 在 X(Γ, G) 上的作用是否存在动力学二分法，将真离散行为与混沌行为分离开来？
• RQ5 在 X(Γ, PSL(2,ℂ)) 中，Out(Γ) 作用为遍历的表示集合具有何种结构，特别是当 Γ 为自由群 F_n 且 n ≥ 3 时？

主要发现

• Out(Γ) 在任意半单李群 G 中的 Anosov 表示空间上作用为真离散，推广了经典映射类群在 Teichmüller 空间上的作用。
• 当 Γ 为词超曲群时，Anosov 表示空间是 X(Γ, G) 的开子集，且 Out(Γ) 在此开集上作用为真离散。
• 当 Γ 为带边界的紧致 3-流形的基本群，且 G = PSL(2,ℂ) 时，Out(Γ) 在 X(Γ, PSL(2,ℂ)) 中存在包含凸共形紧致表示的更大离散域。
• 这些更大的离散域可能包含既非离散也非忠实的表示，表明其动力学行为更广泛地保持良好。
• 对于自由群 F_n（n ≥ 3），Gelander 和 Minsky 证明了 Out(Γ) 在 X(F_n, PSL(2,ℂ)) 的一个开子集上作用为遍历。
• 当 Γ = F_2 且 G = SL(2,ℝ) 时，已知存在完全的动力学二分法：Out(Γ) 在 X(Γ, G) 上的作用被划分为一个真离散的开集和一个混沌的闭集。