[论文解读] Dynkin Games and Israeli Options

Yuri Kifer|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 64被引用 11

一句话总结

本文全面综述了Dynkin博弈与以色列（博弈）期权，建立了其理论基础，并分析了过去十年中的关键发展。它在离散时间模型中提出了统一的博弈期权定价与对冲框架，采用超对冲策略，证明了均衡策略的存在性，并推导出离散近似方法的误差界；同时通过买入并持有策略研究了交易成本下的博弈期权，并得出了基于二项式模型的极限结果。

ABSTRACT

We start briefly surveying research on optimal stopping games since their introduction by E.B.Dynkin more than 40 years ago. Recent renewed interest to dynkin's games is due, in particular, to the study of Israeli (game) options introduced in 2000. We discuss the work on these options and related derivative securities for the last decade. Among various results on game options we consider error estimates for their discrete approximations, swing game options, game options in markets with transaction costs and other questions.

研究动机与目标

• 综述自Dynkin在20世纪60年代末提出以来Dynkin博弈的理论发展历程。
• 分析自2000年引入以来以色列（博弈）期权及相关衍生证券的研究演变。
• 在存在与不存在交易成本的离散时间金融市场中，为博弈期权建立严格的超对冲策略。
• 推导博弈期权离散近似的误差估计，并研究其收敛性质。
• 研究在存在交易成本的市场中，特别是Black-Scholes设定下，最优策略的结构。

提出的方法

• 通过三个适应过程 $X_t$、$Y_t$ 和 $Z_t$ 形式化Dynkin博弈设置，收益 $H(s,t)$ 依赖于停止时间 $s$ 和 $t$，在右连续、完备的过滤空间下进行。
• 通过在卖方策略中取下确界、在买方策略中取上确界，应用极小化极大原理来定义博弈价值，其基础为对冲论证。
• 通过在 $σ_t$ 和 $\tau_t$ 上的归纳算法，为买方和卖方构建超对冲策略，确保自融资条件和通过价值函数的上图实现的投资组合可行性。
• 使用收益函数的上图（$\text{epi}(q_t^a)$、$\text{epi}(r_t^b)$ 等）来编码每个时间步的投资组合约束和停止时间决策。
• 应用离散时间近似技术，证明基于二项式模型的策略收敛于连续时间博弈期权价值。
• 通过证明在Black-Scholes市场中，最便宜的超对冲策略是由买入并持有投资组合与Borel集命中时间的组合构成，分析了交易成本模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在性非平凡的情况下，Dynkin博弈的博弈价值结构是什么？如何严格定义？
• RQ2 在存在投资组合约束的离散时间市场中，如何为博弈期权的买方和卖方构建超对冲策略？
• RQ3 可以为博弈期权的离散近似建立怎样的误差界？它们如何收敛到连续时间极限？
• RQ4 交易成本如何影响博弈期权的最优对冲策略？在Black-Scholes设定下，最低成本策略是什么？
• RQ5 在交易成本下，博弈期权的短缺口风险是什么？它如何通过二项式模型近似序列的极限来表征？

主要发现

• 在满足 $Y_t \leq Z_t \leq X_t$ 且收益过程上确界的可积性条件下，博弈价值存在，并由鞍点均衡表征。
• 卖方的超对冲策略存在，并通过一种归纳算法构造，该算法利用价值函数的上图确保自融资和投资组合可行性。
• 买方的超对冲策略通过类似的对偶归纳算法构造，确保初始投资组合位于买方价值函数的上图之内。
• 在存在交易成本的市场中，Black-Scholes模型下博弈期权的最便宜超对冲策略被证明是买入并持有投资组合与Borel集命中时间的组合。
• 在交易成本下，博弈期权的短缺口风险被表示为一系列二项式模型中对应表达式的极限，证实其收敛于连续时间情形。
• 博弈期权的离散近似收敛于真实博弈期权价值，误差估计通过二项式模型策略的收敛性得以建立。