[论文解读] E_6 unification model building III. Clebsch-Gordan coefficients in E_6 tensor products of the 27 with higher dimensional representations

Greg W. Anderson, T. Blažek|ArXiv.org|Jan 31, 2001

Black Holes and Theoretical Physics被引用 6

一句话总结

本文计算了 E6 基 fundamental 27-plet 与高维表示（78, 351, 351′）张量积的 Clebsch-Gordan 系数，为构建 E6 统一超对称模型中的高维算符提供了基本的群论工具。主要贡献是为 27⊗78、27⊗351、27⊗351′ 及相关乘积提供了完整的 CGC 表，使 E6 不变量能够显式分解为标准模型量子数，从而实现费米子质量矩阵的生成。

ABSTRACT

$E_6$ is an attractive group for unification model building. However, the complexity of a rank 6 group makes it non-trivial to write down the structure of higher dimensional operators in an $E_6$ theory in terms of the states labeled by quantum numbers of the Standard Model gauge group. In this paper, we show the results of our computation of the Clebsch-Gordan coefficients for the products of the {\bf 27} with irreducible representations of higher dimensionality: ${\bf 78}$, ${\bf 351}$, ${\bf 351^\prime}$, ${\bf \ol{351}}$, and ${\bf \ol{351^\prime}}$. Application of these results to $E_6$ model building involving higher dimensional operators is straightforward.

研究动机与目标

• 提供涉及 E6 27-plet 和高维不可约表示（78, 351, 351′）的完整 Clebsch-Gordan 系数（CGC）集合，这些系数对于构建 E6 统一模型中的高维算符至关重要。
• 实现 E6 不变量到标准模型规范量子数的显式分解，特别是通过高维算符生成费米子质量矩阵。
• 通过计算 27⊗351、27⊗351′ 及相关乘积的 CGC，扩展先前关于 E6 张量积的研究，这些结果此前在文献中尚不可用。
• 建立一种系统化方法，利用降低算符和相位约定，构建结果不可约表示的权系，确保 CGC 计算的一致性和幺正性。

提出的方法

• 使用 E6 降低算符形式，其中生成元 E−αi 对应该六条单根，通过依次应用这些算符构建不可约表示的完整权系。
• 应用标准降低关系 E−αi|w⟩ = N−αi,w |w−αi⟩，其中 N−αi,w 通过涉及内积和先前 CGC 范数的递推关系计算。
• 对所有 N−αi,w 实施实数且非负的相位约定，以确保 CGC 表中的一致性和幺正性。
• 通过从主权重出发并应用降低操作，构建 27、78、351 和 351′ 表示的权系，同时追踪简并度和重数。
• 计算所有张量积分解的 CGC：27⊗78 = 1728⊕351⊕27，27⊗351 = 7371⊕1728⊕351⊕27，27⊗351′ = 7722⊕1728⊕27，以及 27⊗351 = 5824⊕2925⊕650⊕78，27⊗351′ = 3003⊕5824⊕650。
• 提供 CGC 的显式表格，附带归一化因子，其中每个条目除以表格最后一行的相应归一化因子，以确保 ⟨n|n⟩=1。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何计算并分解张量积 27⊗78 的 Clebsch-Gordan 系数，使其成为 E6 的不可约表示？
• RQ2 E6 中 351 和 351′ 表示的结构是什么？当与 27-plet 耦合时，它们如何分解？
• RQ3 如何计算并归一化 27⊗351 和 27⊗351′ 的 CGC，以确保其幺正性并符合 E6 群结构？
• RQ4 简并权态在降低过程中的作用是什么？在 CGC 计算中如何处理？
• RQ5 如何利用所得的 CGC 表来构建生成统一模型中费米子质量的高维 E6 不变量算符？

主要发现

• 张量积 27⊗78 分解为 1728⊕351⊕27，所有分量的 CGC 均已显式计算，使能够构建涉及 78 作为 Higgs 类态的 E6 不变量算符。
• 乘积 27⊗351 产生 7371⊕1728⊕351⊕27，27⊗351′ 产生 7722⊕1728⊕27，所有态（包括简并权态）的 CGC 均已完整列出。
• 对于 27⊗351，分解包括 5824⊕2925⊕650⊕78，而对于 27⊗351′，其为 3003⊕5824⊕650，所有 650-plet 的 20 个态及其对应的 351/351′ 态的 CGC 均已提供。
• CGC 表已归一化，使得每个态矢量具有单位范数，归一化因子在每张表的最后一行明确给出。
• 该方法通过使用一致的标记方案和相位约定，成功处理了 78 和 351 表示中的简并权态，确保了态的明确识别。
• 结果为 E6 模型构建者提供了完整且显式的工具包，可用于写出涉及 27-plet 和高维表示的高维算符，所有标准模型量子数在分解中均清晰可见。