[论文解读] E-Characteristic Polynomials of Tensors

An-Min Li, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文证明了张量的E-特征多项式系数是正交坐标变换下的不变量，且对于二维张量，首项系数是$ P_m $和$ Q_m $的多项式函数，关键结果为：当$ m $为偶数时，$ a_{h(m,2)}(m,2) = (P_m^2 + Q_m^2)^{(m-2)/2} $；当$ m $为奇数时，$ -(P_m^2 + Q_m^2)^{m-2} $，至多相差一个常数。此外，该研究还表明，在张量的射影空间中，具有无穷多组特征对的张量集合与奇异张量集合的余维数均为2。

ABSTRACT

In this paper, we show that the coefficients of the E-characteristic polynomial of a tensor are orthonormal invariants of that tensor. When the dimension is 2, some simplified formulas of the E-characteristic polynomial are presented. A re- sultant formula for the constant term of the E-characteristic polynomial is given. We then study the set of tensors with infinitely many eigenpairs and the set of irregular tensors, and prove both the sets have codimension 2 as subvarieties in the projective space of tensors. This makes our perturbation method workable. By using the perturbation method and exploring the difference between E-eigenvalues and eigenpair equivalence classes, we present a simple formula for the coefficient of the leading term of the E-characteristic polynomial, when the dimension is 2.

研究动机与目标

• 证明E-特征多项式系数在正交坐标变换下保持不变。
• 分析E-特征对的结构，并确定张量具有无穷多组特征对等价类的条件。
• 推导二维情况下E-特征多项式首项系数的显式公式。
• 证明在张量的射影空间中，具有无穷多组特征对的张量集合与奇异张量集合的余维数均为2，从而支持基于扰动的分析。

提出的方法

• 通过方程组$ Ax^{m-1} = heta x $，$ x^T x = heta^2 $的结式定义E-特征多项式，其中$ heta $为齐次化变量。
• 利用结式表达式，将E-特征多项式表示为$ heta $的单变量多项式，其系数为张量分量的多项式。
• 引入$ P_m $和$ Q_m $，即对特定指标模式下张量分量的交替求和，用于刻画首项系数为零的条件。
• 证明首项系数为零当且仅当$ P_m^2 + Q_m^2 = 0 $，利用特征对等价类与齐次化系统。
• 应用代数几何技术，证明具有无穷多组特征对的张量子簇与奇异张量子簇的余维数均为2。
• 结合扰动理论与闭包论证，将首项系数的零点集与$ P_m^2 + Q_m^2 $的零点集等同，从而确定首项系数的精确形式（至多相差一个常数）。

实验结果

研究问题

• RQ1 E-特征多项式系数在正交坐标变换下是否保持不变？
• RQ2 二维张量的E-特征多项式首项系数具有何种代数结构？
• RQ3 在何种条件下，张量具有无穷多组特征对等价类？
• RQ4 张量在何种情况下为奇异张量？其奇异性子簇在射影张量空间中的余维数是多少？
• RQ5 E-特征多项式首项系数的零化与方程组$ Ax^{m-1} = heta x $，$ x^T x = 0 $存在非平凡解之间有何关联？

主要发现

• E-特征多项式系数是张量的正交不变量，即在坐标系的正交变换下保持不变。
• 对于二维张量，当$ m $为偶数时，首项系数$ a_{h(m,2)}(m,2) $与$ (P_m^2 + Q_m^2)^{(m-2)/2} $成正比；当$ m $为奇数时，与$ -(P_m^2 + Q_m^2)^{m-2} $成正比。
• 具有无穷多组特征对等价类的张量集合在射影空间$ b{C}b{P}^{2^m - 1} $中的余维数至少为2。
• 奇异张量集合在同一空间中的余维数也至少为2，因此在一般扰动情形下，这两类集合均可视为可忽略。
• 首项系数为零当且仅当$ P_m^2 + Q_m^2 = 0 $，该条件刻画了特征对完整集合的缺失。
• 通过次数计数与显式例子验证了首项系数的函数形式，确认其至多相差一个常数因子。