[论文解读] E-semigroups over closed convex cones

Anbu Arjunan, R. Srinivasan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文引入了在 ℝᵈ 中的闭凸锥上的 E₀-半群，将单参数 E₀-半群理论推广至多参数情形。它建立了保持紧算子的 E₀-半群的结构定理，并通过其单位和规范群完全刻画了 CCR 流。关键贡献在于构造了一个不可数族的 2-参数 CCR 流，它们彼此之间非共轭，展示了多参数情形下远比单参数情形更丰富的分类结构。

ABSTRACT

We initiate a study of E-semigroups over convex cones. We prove a structure theorem for E-semigroups which leave the algebra of compact operators invariant. Then we study in detail the CCR flows, E$_0$semigroups constructed from isometric representations, by describing their units and gauge groups. We exhibit an uncountable family of $2-$parameter CCR flows, containing mutually non-cocycle-conjugate E$_0$-$semigroups.

研究动机与目标

• 启动对 ℝᵈ 中闭凸锥上索引的 E₀-半群的系统性研究，推广单参数 E₀-半群理论。
• 通过分析其单位和规范群，刻画凸锥上的 CCR 流。
• 在共轭作用下区分 E₀-半群，特别是在 Wold 分解失效的多参数情形。
• 构造并分类不可数个非共轭的 2-参数 CCR 流。
• 将 Arveson 关于保持紧算子的 E₀-半群的结构定理推广至多参数情形。

提出的方法

• 通过 σ-弱连续性和正规 *-自同态，定义在 ℝᵈ 中的闭凸锥 P ⊂ ℝᵈ 上的 E₀-半群，其中 P 张成空间且为尖锥。
• 将 Arveson 定理推广，以分类保持紧算子代数的 E₀-半群，建立多参数情形下的 Arveson-Wigner 定理。
• 通过希尔伯特空间上 P 的等距表示构造 CCR 流，利用锥上的二次量子化。
• 通过交错等距定义 E₀-半群的单位，并证明其由相关等距表示的加法共形因子完全确定。
• 显式计算 CCR 流的规范群，并将其与底层希尔伯特空间的酉群联系起来。
• 使用上同调不变量和冯诺依曼代数技术来区分共轭类，特别是通过规范群的同构类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单参数情形之外，系统地定义和分类 ℝᵈ 中闭凸锥上的 E₀-半群？
• RQ2 在多参数情形下，保持紧算子代数的 E₀-半群的结构是怎样的？
• RQ3 凸锥上 CCR 流的单位和规范群与单参数情形下的对应物有何不同？
• RQ4 在 2-参数情形下，能否构造出不可数个非共轭的 E₀-半群？
• RQ5 等距表示的上同调不变量在多大程度上决定了相关 CCR 流的共轭类？

主要发现

• 存在一个不可数族的 2-参数 CCR 流，它们彼此之间均非共轭，展示了多参数情形下丰富的分类结构。
• 与等距表示相关的 CCR 流的规范群同构于底层希尔伯特空间的酉群，该不变量可区分共轭类。
• 对于 CCR 流，单位完全由相关等距表示的加法共形因子决定，推广了单参数情形。
• 若 E₀-半群处于标准形式且共轭，则其共轭类成立，扩展了单参数情形下的已知结果。
• 等距表示的冯诺依曼代数同构于 B(ℋ)，且该代数不变量在共轭下保持不变。
• 若两个 CCR 流共轭，则其相关等距表示必须具有相同的重数和相同的参数 a，证明 a 是共轭类的完整不变量。