[论文解读] E2N: Error Estimation Networks for Goal-Oriented Mesh Adaptation

Joseph G. Wallwork, Jingyi Lu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 5

一句话总结

本文提出E2N，一种数据驱动的神经网络框架，用于在目标导向型网格自适应中替代计算成本高昂的伴随方法误差估计。通过利用网格和物理特征训练神经网络来预测单元格级别的误差贡献，E2N在显著降低计算成本的同时，实现了与传统方法相当的精度，该方法在以发电量为目标量的潮汐涡轮机阵列模拟中得到验证。

ABSTRACT

Given a partial differential equation (PDE), goal-oriented error estimation allows us to understand how errors in a diagnostic quantity of interest (QoI), or goal, occur and accumulate in a numerical approximation, for example using the finite element method. By decomposing the error estimates into contributions from individual elements, it is possible to formulate adaptation methods, which modify the mesh with the objective of minimising the resulting QoI error. However, the standard error estimate formulation involves the true adjoint solution, which is unknown in practice. As such, it is common practice to approximate it with an 'enriched' approximation (e.g. in a higher order space or on a refined mesh). Doing so generally results in a significant increase in computational cost, which can be a bottleneck compromising the competitiveness of (goal-oriented) adaptive simulations. The central idea of this paper is to develop a "data-driven" goal-oriented mesh adaptation approach through the selective replacement of the expensive error estimation step with an appropriately configured and trained neural network. In doing so, the error estimator may be obtained without even constructing the enriched spaces. An element-by-element construction is employed here, whereby local values of various parameters related to the mesh geometry and underlying problem physics are taken as inputs, and the corresponding contribution to the error estimator is taken as output. We demonstrate that this approach is able to obtain the same accuracy with a reduced computational cost, for adaptive mesh test cases related to flow around tidal turbines, which interact via their downstream wakes, and where the overall power output of the farm is taken as the QoI. Moreover, we demonstrate that the element-by-element approach implies reasonably low training costs.

研究动机与目标

• 为减少有限元模拟中目标导向误差估计的计算瓶颈，特别是由于伴随解逼近的高成本。
• 开发一种无需构建丰富有限元空间的传统误差估计的数据驱动替代方法。
• 通过训练好的神经网络实现高效、逐单元的网格自适应，以预测局部误差贡献。
• 在涉及潮汐涡轮机的真实海岸海洋建模问题中，展示该方法的可行性和效率。
• 在未来工作中探索该方法在时间依赖问题和复杂几何结构中的扩展。

提出的方法

• 该方法使用神经网络基于局部网格几何和问题物理参数预测目标导向误差估计器的单元格级误差贡献。
• 输入特征包括单元格尺寸、形状、方向以及解梯度，输出为用于网格自适应的局部误差指示器。
• 网络使用来自高保真有限元模拟的数据进行训练，这些模拟使用丰富空间以逼近真实伴随解。
• 该方法通过直接从模拟数据学习误差贡献映射，避免了显式求解伴随问题。
• 网格自适应通过预测的误差指示器执行，对高估误差的单元格进行细化，以最小化目标量的误差。
• 该框架与Thetis海岸海洋模型及Mmg网格自适应库集成，用于在潮汐涡轮机阵列案例中进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够有效训练神经网络，在不求解伴随问题的情况下预测目标导向网格自适应中的单元格级误差贡献？
• RQ2 所提出的基于数据驱动的误差估计方法是否在降低计算成本的同时，达到与传统方法相当的精度？
• RQ3 基于神经网络的误差估计器性能如何随网格细化和问题复杂度变化而变化？
• RQ4 该方法是否可推广至不同边界条件、空间变化的粘性系数以及复杂几何结构（如非凸区域）？
• RQ5 该方法在时间依赖问题（如往复流动的潮汐流）中的扩展潜力如何？

主要发现

• E2N方法实现了与传统伴随方法相当的误差估计精度，同时显著降低了计算成本。
• 神经网络方法消除了构建丰富有限元空间的需求，避免了相关的高计算开销。
• 逐单元训练策略实现了低数据量和低训练成本，支持高效部署。
• 该方法在潮汐涡轮机阵列模拟中成功识别出高误差区域，有效引导网格细化以最小化发电量误差。
• 初步结果表明，该方法对边界条件和几何结构的变化具有鲁棒性，但更广泛的泛化可能需要更多训练数据。
• 该框架可扩展至时间依赖问题，提出的方法是按时间步进行训练，类似于空间单元格级学习的策略。