[论文解读] Early Record of Divisibility and Primality

Subhash Kak|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2009

History and Theory of Mathematics参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文從古代吠陀經文——特別是《Śatapatha Brāhmaṇa》中提取文本證據，表明早期印度學者系統性地計算了如 720 和 10,800 之類數字的因數，並將因數數量與天文與週期性現象聯繫起來。研究指出，對質數的認識是透過此類因數計數間接產生的，質數被視為超越週期性的『超驗』象徵。

ABSTRACT

We provide textual evidence on divisibility and primality in the ancient Vedic texts of India. Concern with divisibility becomes clear from the listing of all the fifteen pairs of divisors of the number 720. The total number of pairs of divisors of 10,800 is also given. The motivation behind finding the divisors was the theory that the number of divisors of a certain periodic process is related to the count associated with some other periodic process. For example, 720 (days and nights of the year) has 15 pairs of divisors, and this was related to the 15 days of the waxing and waning of the moon. Numbers that have no divisors appeared to have been used to symbolize the "transcendent" that is beyond periodicity and change.

研究动机与目标

• 調查古代吠陀經文是否包含系統性數論知識的證據，特別是與可除性及質數相關的內容。
• 分析因數列舉在吠陀宇宙觀與儀式中的角色，特別是與月相週期與太陽年等週期性過程的關聯。
• 探討是否透過特定因數數量或質因數的數字使用，顯示出對質數的某種概念性認知，即使缺乏明確術語。
• 檢視吠陀生理學與曼荼羅（宇宙圖式）中的象徵性數字，尋找可能基於質數的設計原則。
• 確立早期印度數學思想可能包含前古典希臘數論的原始推理，早於古典希臘數論的發展。

提出的方法

• 分析《Śatapatha Brāhmaṇa》（ŚB）及其他吠陀層次文本中的文字記載，尋找明確的因數對數量，例如 720 的 15 組因數對。
• 將因數對的數量與天文週期相關聯——例如，720 的 15 組因數對（一年 720 天）對應於月亮的 15 天盈虧週期。
• 檢視吠陀經文中的數字計數，例如 76,913（質數）為《ṛgveda》詞語總數的一半，以及 5,261（質數）為詩句數量的一半。
• 調查曼荼羅（如 Śri Yantra 及《Śvetāśvatara Upaniṣad》的描述）的結構，識別具有質數計數的數字（如 137），並評估其象徵意義。
• 評估生理計數的質數性，例如《Praśna Upaniṣad》中主 nāḍī 每 7,200,101 條 nāḍī 為質數，暗示其可能具有象徵意義。
• 將吠陀數字使用與美索不達米亞數學泥板（如古巴比倫乘法表與畢氏三元組）比較，以突顯吠陀系統性因數列舉的獨特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 吠陀聖哲是否擁有系統性因數列舉知識，如《Śatapatha Brāhmaṇa》所示？
• RQ2 720 和 10,800 等數字的因數對數量如何與天文或儀式週期相連結？
• RQ3 在詞語、詩句與 nāḍī 數量中使用質數，是否反映對質數的內隱理解？
• RQ4 僅有 1 和自身作為因數的數字，其背後的象徵或宇宙論意義為何？
• RQ5 吠陀傳統在多大程度上將數論性質整合進宇宙的形上學與生理學模型中？

主要发现

• 《Śatapatha Brāhmaṇa》明確列出 720 的 15 組因數對，對應於 15 天的月相週期，顯示因數計數與週期性現象之間的刻意連結。
• 10,800 的總因數對數量亦被記錄，顯示對具有宇宙學重要性的數字進行系統性因數列舉。
• 76,913 是《ṛgveda》詞語總數（153,826）的一半，且為質數，暗示可能在文本構成中刻意使用質數。
• 《ṛgveda》詩句總數（10,522）可分解為 2 × 5,261，而 5,261 為質數，進一步支持文本設計中對質數的認知。
• 《Praśna Upaniṣad》生理模型中 nāḍī 總數為 727,210,101 = 101 × 7,200,101，兩者皆為質數，顯示質數可能具有象徵用途。
• 《Śvetāśvatara Upaniṣad》對宇宙輪盤的描述總計 137 個組成部分，為質數，暗示質數計數可能在曼荼羅設計中具有形上學意義。