[论文解读] Ecoepidemics with infected prey in herd defense: the harmless and toxic cases

Elena Cagliero, Ezio Venturino|arXiv (Cornell University)|May 16, 2014

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的生态流行病学模型，其中猎物通过结群防御，且一种不可逆疾病在其中传播，捕食者同时捕食易感和感染个体。该模型采用基于总猎物密度的平方根捕食项，并引入无奇点的重新表述；关键结果表明，三者共存是可能的，但捕食者无法仅靠感染猎物生存，因其状态过弱。

ABSTRACT

We consider a predator-prey population model with prey gathering together for defense purposes. A transmissible unrecoverable disease affects the prey. We characterize the system behavior, establishing that ultimately either only the susceptible prey survive, or the disease becomes endemic, but the predators are wiped out. Another alternative is that the disease is eradicated, with sound prey and predators thriving at an equilibrium or through persistent population oscillations. Finally, the populations can thrive together, with the endemic disease. The only impossible alternative in these circumstances is predators thriving just with infected prey. But this follows from the model assumptions, in that infected prey are too weak to sustain themselves. A mathematical peculiarity of the model is the singularity-free reformulation, which leads to three entirely new dependent variables to describe the system. The model is then extended to encompass the situation in which ingestion of diseased prey is fatal for the predators.

研究动机与目标

• 建立一个考虑猎物为防御而结群的捕食者-猎物动态模型，并分析其中的疾病传播。
• 研究通过平方根捕食项建模的群体防御如何与标准模型相比，改变疾病传播与捕食者生存。
• 将模型扩展至包含感染猎物对捕食者具有毒性的场景，评估其对系统稳定性的影响。
• 通过引入新因变量消除系统中的数学奇点，实现稳健的稳定性分析。
• 确定所有可能的长期结果，包括疾病根除、地方性感染，以及捕食者灭绝或共存。

提出的方法

• 建立包含三个状态变量（易感猎物 S、感染猎物 I、捕食者 P）的常微分方程组，通过与 √(S+I) 成比例的平方根项体现群体防御。
• 通过引入三个新因变量 S/(S+I)、P√(S+I) 和 √(S+I) 对系统进行重构，以消除当 S+I → 0 时的奇点。
• 对系统进行无量纲化，以简化分析并便于数值模拟。
• 通过令时间导数为零，求解方程组以分析平衡点。
• 使用雅可比矩阵进行线性稳定性分析，并通过特征值评估局部稳定性。
• 研究霍普夫分支，以检测种群动态中持久振荡的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过平方根捕食项建模的群体防御如何影响感染猎物与捕食者种群的持续存在？
• RQ2 该生态流行病学系统的可能长期结果有哪些，包括疾病根除、地方性感染以及捕食者灭绝？
• RQ3 捕食者能否仅以感染猎物为食生存？哪些模型假设阻止了这一结果？
• RQ4 在感染猎物具有毒性的情况下，系统稳定性与共存动态如何变化？
• RQ5 在何种参数条件下，系统表现出稳定平衡点，而非持久振荡（极限环）？

主要发现

• 系统存在四种可能的稳定平衡点：(1) 仅易感猎物存活；(2) 仅易感猎物与感染猎物共存，疾病地方性流行；(3) 易感猎物与捕食者稳定共存或呈现振荡，疾病被根除；(4) 三者共存，疾病地方性流行。
• 捕食者无法仅靠感染猎物生存，因为感染个体过于衰弱，无法维持其生存，若无健康猎物，将导致捕食者灭绝。
• 在模型假设下，仅感染猎物与捕食者共存的平衡点不可能存在，因缺乏健康猎物导致种群无法补充。
• 数值模拟证实，根据参数值不同，稳定平衡点与极限环可共存，当 σ=0.5, r=0.5, μ=0.4, q=0.2, w=0.5, K=3(m/g)², m=0.2, g=0.1, f=0.3 时观察到极限环。
• 采用新变量（S/(S+I)、P√(S+I)、√(S+I)）的无奇点重构方法，使严格稳定性分析成为可能，并避免了猎物种群消失时的数学奇点。
• 推导出霍普夫分支条件，其稳定性取决于参数如 m, g, r, w, q, σ, μ, K，特别是某些平衡点的稳定性要求 K < 3m²/g²。