[论文解读] Edge-clique graphs of cocktail parties have unbounded rankwidth

Maw‐Shang Chang, Ton Kloks+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文证明了鸡尾酒派对图的边团图具有无界的秩宽，从而推翻了边团图的cograph具有有界秩宽的猜想。作者基于χ-有界性与边团图的独立数，采用反证法，表明若秩宽有界，则与这些图中边团覆盖数和独立数的已知下界矛盾。

ABSTRACT

In an attempt to find a polynomial-time algorithm for the edge-clique cover problem on cographs we tried to prove that the edge-clique graphs of cographs have bounded rankwidth. However, this is not the case. In this note we show that the edge-clique graphs of cocktail party graphs have unbounded rankwidth.

研究动机与目标

• 研究cograph的边团图是否具有有界秩宽，这是高效算法的关键结构属性。
• 确定由鸡尾酒派对图（一类特定cograph）导出的边团图的秩宽行为。
• 通过结构图论挑战在cograph上边团覆盖问题存在多项式时间算法的可行性。
• 探讨无界秩宽对边团覆盖问题的参数复杂性及核化的影响。

提出的方法

• 将边团图 $K_e(G)$ 定义为：其顶点对应于图 $G$ 的边，当两条边在 $G$ 中共享一个公共团时，它们在 $K_e(G)$ 中相邻。
• 利用 $\theta_e(G) = \kappa(K_e(G))$ 的事实，其中 $\kappa$ 表示顶点团覆盖数。
• 应用定理 1.1，建立 $\theta_e(cp(n))$ 的对数下界，即 $\theta_e(cp(n)) \geq \log_2(2n+1)$。
• 通过显式构造与边团图中的邻接性分析，证明当 $n \geq 2$ 时，$\alpha(K_e(cp(n))) = 4$。
• 利用图的秩宽至多比其补图的秩宽大一这一事实，将 $\text{rankwidth}(K_e(G))$ 与 $\text{rankwidth}(\overline{K_e(G)})$ 关联起来。
• 利用 Dvořák 和 Král 的结果：有界秩宽图是χ-有界的，若 $K_e(cp(n))$ 具有有界秩宽，则可导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 cograph的边团图是否具有有界秩宽？
• RQ2 由鸡尾酒派对图导出的边团图的秩宽是多少？
• RQ3 若cograph的边团图具有有界秩宽，边团覆盖问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ4 有界秩宽图的χ-有界性与 $K_e(cp(n))$ 的独立数和团覆盖数之间是否存在矛盾？
• RQ5 $K_e(cp(n))$ 的无界秩宽是否意味着边团覆盖问题核化存在限制？

主要发现

• 鸡尾酒派对图的边团图具有无界的秩宽，从而推翻了cograph的边团图具有有界秩宽的假设。
• 当 $n \geq 2$ 时，独立数 $\alpha(K_e(cp(n)))$ 恰好为 4，这是一个关键的结构不变量。
• 边团覆盖数 $\theta_e(cp(n))$ 满足 $\theta_e(cp(n)) \geq \log_2(2n+1)$，随 $n$ 对数增长。
• 矛盾的产生是因为：若 $K_e(cp(n))$ 具有有界秩宽，则 $\kappa(K_e(cp(n)))$ 将受 $\alpha(K_e(cp(n))) = 4$ 的函数有界，但这与 $\theta_e(cp(n))$ 的对数增长相矛盾。
• 该结果表明，cograph的边团图类不具有有界秩宽，从而限制了基于秩宽的算法的应用范围。
• 边团覆盖问题在cograph上仍为NP完全，这与其边团图的结构复杂性一致。