[论文解读] Edge Coloring Technique to Remove Small Elementary Trapping Sets from Tanner Graph of QC-LDPC Codes with Column Weight 4

Mohammad‐Reza Sadeghi, Farzane Amirzade|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2018

Error Correcting Code Techniques参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了一种边缘着色技术，应用于准循环低密度奇偶校验（QC-LDPC）码中变量节点（VN）图的列权重为4的情况，以消除小型基本围集（ETSs）。通过推导出在何种条件下对应于ETSs的VN图的4-边着色变得不可能，该方法确保了在围长为6或8的QC-LDPC码的Tanner图中，特定ETSs——(5,b)（其中b≤4）、(6,b)（其中b≤2）和(7,4)——不存在。其主要贡献是为构造高围长、无误码地板的列权重为4的QC-LDPC码提供了一个系统化的设计框架。

ABSTRACT

One of the phenomena that causes high decoding failure rates is trapping sets. Characterization of $(a,b)$ elementary trapping sets (ETSs), their graphical properties and the lower bounds on their size in variable regular LDPC codes with column weights 3, 4, 5 and 6, where $a$ is the size of the ETS and $b$ is the number of degree-one check nodes, have been an interesting subject among researchers. Although progressive-edge-growth method (PEG) to construct LDPC codes free of an specific ETS has been proposed in the literature, it is mostly applied to LDPC codes with column weight 3. In this paper, we focus on constructing QC-LDPC codes with column weight 4 whose Tanner graphs are free of small ETSs. Using coloring the edges of the variable node (VN) graph corresponding to an ETS, we provide the sufficient conditions to obtain QC-LDPC codes with column weight 4, girth 6 and free of $(5,b)$ ETSs, where $b\leq4$, and $(6,b)$ ETs, where $b\leq2$. Moreover, for $(4,n)$-regular QC-LDPC codes with girth 8, we present a method to remove $(7,4)$ ETSs from Tanner graphs.

研究动机与目标

• 解决列权重为4的QC-LDPC码中因小型基本围集（ETSs）导致的高译码失败率问题。
• 将先前仅用于列权重3码的边缘着色技术扩展至列权重4码，以避免ETSs。
• 推导出保证QC-LDPC码Tanner图中特定小型ETSs不存在的指数矩阵的充分条件。
• 提供一种构造方法，用于设计(4,n)-正则QC-LDPC码，其围长为6或8，且无有害ETSs（如(5,b)、(6,b)和(7,4)）。

提出的方法

• 该方法通过给定ETS对应的变量节点（VN）图进行边缘着色，以判断该ETS是否可能存在于Tanner图中。
• 对ETS的VN图应用4-边着色；若在特定约束下该着色不可能实现，则该ETS不可能存在于Tanner图中。
• 对于围长6的码，该方法指出：若避免由指数矩阵的前3行形成的6-环，以及由第1、2和4行形成的6-环，则可防止(5,b)和(6,b) ETSs的出现。
• 对于围长8的码，该方法证明：若避免在指数矩阵中使用第一行两次且第二行至少一次所形成的8-环，则无法对(7,4) ETS的K_{3,4} VN图进行4-边着色，从而消除(7,4) ETS。
• 该方法依赖于先前研究中建立的结论：有效4-边着色的不存在性等价于Tanner图中对应ETS的不存在性。
• 构造过程使用具有特定行和环约束的指数矩阵，以确保高围长和无ETS的特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种指数矩阵条件可确保(4,n)-正则QC-LDPC码在围长为6时，其Tanner图中不出现(5,b) ETSs（其中b≤4）和(6,b) ETSs（其中b≤2）？
• RQ2 能否将边缘着色技术从列权重3扩展到列权重4的QC-LDPC码，以消除小型ETSs？
• RQ3 在指数矩阵中必须避免何种特定环模式，才能确保(4,n)-正则QC-LDPC码在围长为8时，其Tanner图中无(7,4) ETSs？
• RQ4 (7,4) ETS是否为列权重4、围长8的QC-LDPC码中最小可能的ETS？如何系统性地将其移除？
• RQ5 为构造围长为8且无(7,4) ETSs的(4,n)-正则QC-LDPC码，其指数矩阵需满足何种充分条件？

主要发现

• 对于围长为6的(4,n)-正则QC-LDPC码，若避免由指数矩阵的前3行形成的6-环，以及由第1、2和4行形成的6-环，则可确保不出现(5,b) ETSs（其中b≤4）和(6,b) ETSs（其中b≤2）。
• 对于围长为8的(4,n)-正则QC-LDPC码，若避免在指数矩阵中使用第一行两次且第二行至少一次所形成的8-环，则可阻止对(7,4) ETS的K_{3,4} VN图进行4-边着色，从而消除(7,4) ETS。
• (7,4) ETS是列权重4、围长8的QC-LDPC码中唯一非同构的该尺寸ETS，证实其作为清除目标的重要性。
• 本文提供了(4,n)-正则QC-LDPC码的显式指数矩阵（其中n=5,6,7），其围长为6且避免了(5,b)和(6,b) ETSs，以及围长为8且避免了(7,4) ETSs。
• 该方法通过利用列权重3码的已知结果并将其应用于列权重4码的构造，显著缩小了无ETS码的搜索空间。
• 所提出的条件是充分的，可确保所构造的QC-LDPC码的Tanner图中不包含指定的小型ETSs，从而改善误码地板性能。