[论文解读] Edge-local equivalence of graphs

Maarten Van den Nest, Bart De Moor|ArXiv.org|Oct 12, 2005

graph theory and CDMA systems参考文献 16被引用 10

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，通过在GF(2)上对邻接矩阵使用线性分式变换（LFTs），以确定图的边局部等价性。其主要贡献在于证明了两个图是边局部等价的充分必要条件是它们的邻接矩阵通过如下形式的LFT相关联：$ \Gamma \mapsto ((A+I)\Gamma + A)(A\Gamma + A + I)^{-1}$，从而实现了对等价类的高效识别、计数与结构分析。

ABSTRACT

The local complement G*i of a simple graph G at one of its vertices i is obtained by complementing the subgraph induced by the neighborhood of i and leaving the rest of the graph unchanged. If e={i,j} is an edge of G then G*e=((G*i)*j)*i is called the edge-local complement of G along the edge e. We call two graphs edge-locally equivalent if they are related by a sequence of edge-local complementations. The main result of this paper is an algebraic description of edge-local equivalence of graphs in terms of linear fractional transformations of adjacency matrices. Applications of this result include (i) a polynomial algorithm to recognize whether two graphs are edge-locally equivalent, (ii) a formula to count the number of graphs in a class of edge-local equivalence, and (iii) a result concerning the coefficients of the interlace polynomial, where we show that these coefficients are all even for a class of graphs; this class contains, as a subset, all strongly regular graphs with parameters (n, k, a, c), where k is odd and a and c are even.

研究动机与目标

• 开发一个关于图的边局部等价性的全面代数框架，该框架推广了众所周知的局部补全操作。
• 解决尽管在量子信息、DNA测序和密码学中具有相关性，但边局部补全仍缺乏系统理论的问题。
• 提供一种计算高效的算法，用于判断两个图是否为边局部等价。
• 推导边局部等价类的结构不变量与计数公式。
• 建立边局部等价性、交错多项式以及GF(2)代数结构中同态系统之间的联系。

提出的方法

• 本文将边局部补全建模为在图的邻接矩阵$\Gamma$上进行的线性分式变换（LFTs），其定义域为GF(2)。
• 推导出特定的LFT形式$\Gamma \mapsto ((A+I)\Gamma + A)(A\Gamma + A + I)^{-1}$，其中$A$为对角矩阵，用于表示沿某条边的边局部补全。
• 该方法依赖于在$\mathbb{F}_2$上使用线性代数表示图态和同态系统，将图操作与矩阵变换联系起来。
• 利用保持同态系统结构的矩阵群$\mathcal{C}_n$来表征等价类。
• 该框架将边局部等价性与交错多项式联系起来，并证明了对于某些图类，其系数为偶数。
• 基于LFT表征，推导出时间复杂度为$\mathcal{O}(n^4)$的多项式时间算法，用于识别等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过邻接矩阵上的变换，以代数方式表征图的边局部等价性？
• RQ2 确定边局部等价性的计算复杂度是多少？是否可在多项式时间内求解？
• RQ3 如何计算给定边局部等价类中图的数量？
• RQ4 在边局部补全下，哪些结构性质保持不变，特别是关于交错多项式的性质？
• RQ5 能否仅通过边局部补全操作，对非奇异图的邻接矩阵进行求逆？

主要发现

• 两个图是边局部等价的充分必要条件是它们的邻接矩阵在$\mathbb{F}_2$上通过如下形式的线性分式变换相关联：$\Gamma \mapsto ((A+I)\Gamma + A)(A\Gamma + A + I)^{-1}$。
• 存在一个时间复杂度为$\mathcal{O}(n^4)$的多项式时间算法，可用于识别两个图之间的边局部等价性。
• 推导出一个公式，用于计算给定边局部等价类中图的数量。
• 对于所有参数为$(n,k,a,c)$的强正则图，当$k$为奇数且$a,c$为偶数时，其交错多项式的所有系数均为偶数。
• 可通过一系列边局部补全操作，对非奇异邻接矩阵进行求逆。
• 该框架在量子信息中建立了LC等价性的受限版本，将边局部补全与图态上的局部Hadamard操作联系起来。