[论文解读] Edge-transitive bi-Cayley graphs

Marston Conder, Jin‐Xin Zhou+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文表征了正常边传递的双Cayley图，证明其要么是弧传递的，要么是半弧传递的，要么是双对称的，并对围长至多为6的连通三正则边传递图提供了完整分类。研究还表明，在阿贝尔群、二面体群和幂零 $ p $-群上，正常边传递性在特定条件下蕴含正规性，从而解决了Marušič与Potočnik（2001年）提出的关于2-弧传递图、半弧传递图和双对称图的开放问题。

ABSTRACT

A graph $\G$ admitting a group $H$ of automorphisms acting semi-regularly on the vertices with exactly two orbits is called a {\em bi-Cayley graph\/} over $H$. Such a graph $\G$ is called {\em normal\/} if $H$ is normal in the full automorphism group of $\G$, and {\em normal edge-transitive\/} if the normaliser of $H$ in the full automorphism group of $\G$ is transitive on the edges of $\G$. % In this paper, we give a characterisation of normal edge-transitive bi-Cayley graphs, %which form an important subfamily of bi-Cayley graphs, and in particular, we give a detailed description of $2$-arc-transitive normal bi-Cayley graphs. Using this, we investigate three classes of bi-Cayley graphs, namely those over abelian groups, dihedral groups and metacyclic $p$-groups. We find that under certain conditions, `normal edge-transitive' is the same as `normal' for graphs in these three classes. As a by-product, we obtain a complete classification of all connected trivalent edge-transitive graphs of girth at most $6$, and answer some open questions from the literature about $2$-arc-transitive, half-arc-transitive and semisymmetric graphs.

研究动机与目标

• 表征正常边传递的双Cayley图并确定其结构与对称性质。
• 研究在阿贝尔群、二面体群和幂零 $ p $-群上的双Cayley图中，正规性与正常边传递性之间的关系。
• 对围长至多为6的连通三正则边传递图进行分类。
• 解决Marušič与Potočnik（2001年）提出的关于2-弧传递图、半弧传递图和双对称图的开放问题。
• 构造显式家族实例，表明正常边传递的双Cayley图可以是弧传递的、半弧传递的或双对称的。

提出的方法

• 使用双Cayley图构造 $ \mathrm{BiCay}(H, R, L, S) $，其中群 $ H $ 在顶点上半正则地作用并具有两个轨道。
• 应用群论技术，特别是 $ R(H) $ 在 $ \mathrm{Aut}(\Gamma) $ 中的正规化子，以分析边传递性。
• 利用自同构群分析与Sylow子群论证，证明 $ R(H) $ 在 $ \mathrm{Aut}(\Gamma) $ 中的正规性，尤其在 $ p $-群情形下。
• 通过显式构造自同构 $ \delta_{\beta, z, 1} $ 和 $ \sigma_{\alpha, a} $，证明特定家族中的顶点与边传递性。
• 应用文献[55]中的命题2.2，以表征保持双Cayley结构的自同构。
• 运用代数数论与同余条件（例如模 $ p^2 $）验证非交换 $ p $-群上自同构的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，正常边传递的双Cayley图也是正规的？
• RQ2 正常边传递的双Cayley图是否可以是弧传递的、半弧传递的或双对称的？
• RQ3 是否存在无穷多组正常边传递的双Cayley图，分别属于三种对称类型：弧传递、半弧传递与双对称？
• RQ4 围长至多为6的所有连通三正则边传递图的完整分类是什么？
• RQ5 在阿贝尔群、二面体群与幂零 $ p $-群上的双Cayley图中，其对称性质在正常边传递性下是否一致？

主要发现

• 每个正常边传递的双Cayley图要么是弧传递的，要么是半弧传递的，要么是双对称的，且这三种类型均存在无穷多组家族。
• 对于阿贝尔群、二面体群与幂零 $ p $-群上的双Cayley图，正常边传递性在温和条件下蕴含正规性。
• 本文提供了围长至多为6的所有连通三正则边传递图的完整分类。
• 对每个奇素数 $ p \geq 5 $，构造了一个4-正则半弧传递图 $ \mathcal{H}_p $，其阶为 $ 2p^3 $，该图是边正则的但不是弧传递的。
• 图 $ \mathcal{H}_p $ 的自同构群有唯一的指数为2的子群，且 $ R(H) $ 是 $ \mathrm{Aut}(\mathcal{H}_p) $ 的一个正规Sylow $ p $-子群。
• 存在一个自同构 $ \delta_{\beta, a^s b^2, 1} $ 确保边传递性，且通过连接集 $ S $ 中的非不变逆关系，证明图 $ \mathcal{H}_p $ 是半弧传递的。