[论文解读] Edgewise subdivisions, local $h$-polynomials and excedances in the wreath product $\ZZ_r \wr \mathfrak{S}_n$

Christos A. Athanasiadis|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文通过将单形的 barycentric 分解的 r 次边向细分与半单群 ℤ_r ≀ 𝔖_n 中的旗超限数联系起来，推广了单纯剖分中局部 h-多项式在组合意义上的解释。证明了局部 h-多项式具有 γ-非负性，并通过平衡错位排列与旗超限数统计，给出了 γ-系数的组合解释，扩展了对称群中错位排列与超限数的经典结果。

ABSTRACT

The coefficients of the local $h$-polynomial of the barycentric subdivision of the simplex with $n$ vertices are known to count derangements in the symmetric group $\mathfrak{S}_n$ by the number of excedances. A generalization of this interpretation is given for the local $h$-polynomial of the $r$th edgewise subdivision of the barycentric subdivision of the simplex. This polynomial is shown to be $γ$-nonnegative and a combinatorial interpretation to the corresponding $γ$-coefficients is provided. The new combinatorial interpretations involve the notions of flag excedance and descent in the wreath product $\ZZ_r \wr \mathfrak{S}_n$. A related result on the derangement polynomial for $\ZZ_r \wr \mathfrak{S}_n$, studied by Chow and Mansour, is also derived from results of Linusson, Shareshian and Wachs on the homology of Rees products of posets.

研究动机与目标

• 将 barycentric 分解中局部 h-多项式的经典解释——其中系数按超限数计数错位排列——推广至更高阶的边向细分。
• 为 (n−1)-单形的 barycentric 分解的 r 次边向细分的局部 h-多项式建立组合解释。
• 证明该局部 h-多项式具有 γ-非负性，并通过 ℤ_r ≀ 𝔖_n 中的旗超限数与平衡元素，提供 γ-系数的组合解释。
• 将 ℤ_r ≀ 𝔖_n 中的错位排列多项式 d_n^r(x) 与偏序集的 Rees 乘积同调联系起来，通过 Linusson、Shareshian 与 Wachs 的工作，恢复了 Chow 与 Mansour 的结果。

提出的方法

• 本文通过面限制上的容斥原理定义局部 h-多项式：ℓ_V(Γ,x) = ∑_{F⊆V} (−1)^{n−|F|} h(Γ_F,x)。
• 应用 Rees 乘积偏序集的结果（Linusson、Shareshian、Wachs），推导出 r 次边向细分的 h-多项式生成函数。
• 在 ℤ_r ≀ 𝔖_n 上引入旗超限数统计 fexc(w)，定义为 r·exc_A(w) + csum(w)，其中 exc_A 计数零色位置上的超限数，csum 为颜色之和。
• 将错位排列多项式 d_n^r(x) 分解为对称部分 f_n^r,+(x) 与反对称部分 f_n^r,-(x)，并证明其满足反映对称性的函数方程。
• 通过将局部 h-多项式表示为 γ-基：ℓ_V(Γ,x) = ∑_{i=0}^{⌊n/2⌋} ξ_{n,r,i} x^i (1+x)^{n−2i}，其中 ξ_{n,r,i} 计数 ℤ_r ≀ 𝔖_n 中具有 i 个下降段且无单一段的排列，从而证明 γ-非负性。
• 利用容斥原理与生成函数运算，将 r 次边向细分的 h-多项式与 ℤ_r ≀ 𝔖_k 中平衡元素上的旗超限数生成函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对 (n−1)-单形的 barycentric 分解的 r 次边向细分的局部 h-多项式进行组合解释？
• RQ2 该局部 h-多项式 γ-展开中的 γ-系数具有何种组合意义？
• RQ3 ℤ_r ≀ 𝔖_n 中的旗超限数如何与边向细分及局部 h-多项式结构相关联？
• RQ4 ℤ_r ≀ 𝔖_n 中的错位排列多项式 d_n^r(x) 能否通过偏序集同调进行解释？这对它的单峰性与实根性有何含义？
• RQ5 r 次边向细分的局部 h-多项式是否为实根多项式？是否满足 γ-非负性？

主要发现

• r 次边向细分的 barycentric 分解的局部 h-多项式为 ℓ_V(Γ,x) = ∑_{w∈(𝒟_n^r)^b} x^{fexc(w)/r}，其中 (𝒟_n^r)^b 表示 ℤ_r ≀ 𝔖_n 中的平衡错位排列集合。
• 局部 h-多项式具有 γ-非负性，系数 ξ_{n,r,i} 计数 ℤ_r ≀ 𝔖_n 中具有 i 个下降段且无单一段的排列。
• γ-展开 ℓ_V(Γ,x) = ∑_{i=0}^{⌊n/2⌋} ξ_{n,r,i} x^i (1+x)^{n−2i} 通过旗超限数与下降数统计，为 γ-系数提供了组合解释。
• 错位排列多项式 d_n^r(x) 被证明为单峰多项式，峰值位于 ⌊(n+1)/2⌋，其实根性通过分解 f_n^r,+(x) + f_n^r,-(x) 及对称性性质得以确认。
• r 次边向细分的 h-多项式生成函数为 h(sd(2^F)^⟨r⟩,x) = E_r(∑_{w∈ℤ_r≀𝔖_k} x^{fexc(w)}) = ∑_{w∈(ℤ_r≀𝔖_k)^b} x^{fexc(w)/r}，将其与平衡元素联系起来。
• 本文确认 d_n^r(x) 为实根多项式且具有单峰性，并通过 γ-展开与 ξ_{n,r,i} 的组合解释，提供了单峰性的一个新且清晰的证明。