[论文解读] Edgeworth expansions for slow-fast systems and their application to model reduction for finite time scale separation

Jeroen Wouters, Georg A. Gottwald|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2017

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一句话总结

本文为慢-快随机与混沌系统推导了埃奇沃斯展开，针对有限时间尺度分离情形，提供了对高斯近似的解析修正。通过推导一阶与二阶修正项，该方法构建了更精确的随机降阶模型，其在有限时间尺度下优于经典均摊化方法。

ABSTRACT

We show that transition probabilities of the slow variable of a multi-scale dynamics can be expanded in orders of the time scale separation parameter. The resulting Edgeworth corrections characterise deviations from Gaussianity due to the finite time scale separation. Explicit expressions for the first two orders of correction are provided, valid for stochastic as well as deterministic chaotic fast dynamics. The corrections are then used to construct a stochastic reduced system which reliably approximates the effective diffusive behaviour of the slow dynamics. Our method provides an improvement on the classical homogenization limit which is restricted to the limit of infinite time scale separation. We corroborate our analytical results with numerical simulations, demonstrating improvement over homogenization.

研究动机与目标

• 为解决经典均摊化方法的局限性，后者假设时间尺度无限分离并忽略非高斯效应。
• 推导由于有限时间尺度分离导致的慢变量转移概率高斯近似之解析修正项。
• 构建一个能准确捕捉有限时间尺度下有效扩散行为的随机降阶模型。
• 将模型降阶技术的适用范围扩展至具有现实有限时间尺度分离的系统。

提出的方法

• 推导多尺度系统中慢变量转移概率的埃奇沃斯展开。
• 计算一阶与二阶修正项，以量化由有限时间尺度分离引起的非高斯偏差。
• 为随机与确定性混沌快变量动力学分别制定修正项。
• 利用埃奇沃斯修正后的转移概率构建随机降阶系统，以模拟有效扩散行为。
• 通过数值模拟验证方法，将修正后的模型与经典均摊化方法进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地推导出在有限时间尺度分离下多尺度系统中慢变量高斯近似之高阶修正？
• RQ2 随机与确定性混沌快变量动力学的一阶与二阶埃奇沃斯修正项的解析形式为何？
• RQ3 在有限时间尺度下，埃奇沃斯修正模型相较于经典均摊化方法有何改进？
• RQ4 修正项在多大程度上提升了降阶模型中有效扩散行为的准确性？

主要发现

• 埃奇沃斯展开为有限时间尺度分离情形下慢变量转移概率的高斯近似提供了显式解析修正。
• 推导出一阶与二阶修正项，并证明其对随机与确定性混沌快变量动力学均有效。
• 修正后的模型捕捉到了经典均摊化方法所遗漏的慢动力学非高斯特征。
• 数值模拟证实，埃奇沃斯修正后的降阶模型在近似有效扩散行为方面优于经典均摊化方法。
• 该方法即使在时间尺度分离有限时也能实现可靠的模型降阶，将适用范围扩展至无限分离极限之外。