[论文解读] Effect of hyperviscosity on the Navier-Stokes turbulence

Abdelhafid Younsi|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2010

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文通过添加四阶人工黏性项（$l=2$）对三维纳维-斯托克斯方程引入超黏性正则化，证明了在维度 $d \leq 4$ 时该正则化系统强收敛于原始系统。研究建立该正则化系统的全局吸引子的豪斯多夫维数与分形维数受 $c_{11} G^{21/20}$ 限制，显著优于经典估计的 $G^3$，表明该模型在湍流大涡模拟中具有有效性。

ABSTRACT

In this paper we modified the Navier-Stokes equations by adding a higher order artificial viscosity term to the conventional system. We first show that the solution of the regularized system converges strongly to the solution of the conventional system as the regularization parameter goes to zero, for each dimension d $\le$ 4. Then we show that the use of this artificial viscosity term leads to truncated the number of degrees of freedom in the long-time behavior of the solutions to these equations. This result suggests that the hyperviscous Navier-Stokes system is an interesting model for three-dimensional fluid turbulence.

研究动机与目标

• 分析超黏性对三维纳维-斯托克斯方程长期动力学的影响。
• 为 $d \leq 4$ 的情形建立正则化系统向经典纳维-斯托克斯方程的强收敛性。
• 证明当 $l=2$ 时，超黏性系统的全局吸引子存在。
• 推导出与尺度无关、且与 $\varepsilon$ 无关的分形维数与豪斯多夫维数的上界。
• 基于朗道-利夫希茨理论，改进湍流中自由度数量的现有估计。

提出的方法

• 通过添加四阶黏性项 $\varepsilon (-\Delta)^2 u_\varepsilon$ 对三维纳维-斯托克斯方程进行正则化。
• 采用周期性边界条件，并在索伯列夫空间 $H^m(\Omega)$ 与 $V_s$ 中使用弱形式，针对散度为零且平均值为零的函数。
• 证明当 $\varepsilon \to 0$ 时，$u_\varepsilon$ 在 $d \leq 4$ 时强收敛于经典纳维-斯托克斯方程的解。
• 通过能量估计与先验估计，证明当 $l=2$ 时存在吸收集与全局吸引子 $\mathfrak{A}_\varepsilon$。
• 应用朗道-利夫希茨理论与谱估计，利用格拉肖夫数 $G$ 限制吸引子维数。
• 以耗散长度尺度 $l_\varepsilon = (\nu^3 / \varepsilon)^{1/4}$ 与宏观长度 $l_0 = \lambda_1^{-1/2}$ 表达维数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度 $d \leq 4$ 时，纳维-斯托克斯方程的超黏性正则化是否强收敛于经典系统？
• RQ2 能否证明超黏性三维纳维-斯托克斯系统的全局吸引子存在且具有有限维数？
• RQ3 吸引子维数与格拉肖夫数 $G$ 等物理解析参数的标度关系为何？
• RQ4 超黏性项如何降低湍流中有效自由度的数量？
• RQ5 维数界能否超越经典估计的 $G^3$？

主要发现

• 当 $\varepsilon \to 0$ 时，超黏性正则化系统的解在 $d \leq 4$ 时强收敛于经典纳维-斯托克斯方程的解，验证了利翁的猜想。
• 当 $l=2$ 时，该系统在三维周期性设定下存在全局吸引子 $\mathfrak{A}_\varepsilon$。
• 豪斯多夫维数与分形维数满足 $\dim_H(\mathfrak{A}_\varepsilon) \leq c_{11} (l_0 / l_\varepsilon)^{21/10}$，其中 $l_0$ 为宏观长度，$l_\varepsilon$ 为耗散长度尺度。
• 以格拉肖夫数 $G$ 表达时，维数界为 $\dim_F(\mathfrak{A}_\varepsilon) \leq c_{11} G^{21/20}$，显著优于经典估计的 $G^3$。
• 指数 $21/20 = 1.05$ 明显小于朗道-利夫希茨理论预测的 3，表明有效自由度数量大幅减少。
• 结果证实，由于该超黏性模型能截断自由度同时保持关键湍流动力学，因此是大涡模拟的有力候选模型。