[论文解读] Effect of variation in density on the stability of bilinear shear currents with a free surface

Ricardo Barros, José Felipe Voloch|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 38被引用 6

一句话总结

本文采用基于代数曲线的几何方法，分析了具有自由表面的两层密度分层剪切流的稳定性。结果表明，密度分层会强烈 destabilize双线性剪切流——与均质情况不同——使得不稳定几乎成为普遍现象，除非上层的涡度为零，此时流场才得以稳定。

ABSTRACT

We perform the stability analysis for a free surface fluid current modeled as
 two finite layers of constant vorticity, under the action of gravity and
 absence of surface tension. In the same spirit as Taylor ["Effect of variation
 in density on the stability of superposed streams of fluid," Proc. R. Soc. A
 132, 499 (1931)], a geometrical approach to the problem is proposed, which
 allows us to present simple analytical criteria under which the flow is stable.
 A strong destabilizing effect of stratification in density is revealed by
 comparison with the physical setting where the vorticity interface is also a
 density interface separating two immiscible fluids with constant densities.

研究动机与目标

• 研究密度变化如何影响具有自由表面的双线性剪切流的稳定性。
• 通过引入分层效应，将经典稳定性分析从均质流体扩展至非均质情况。
• 利用几何方法推导出简单、解析的、必要且充分的稳定性判据。
• 将分层流体的稳定性与均质双线性剪切流情况进行比较，突出其关键差异。

提出的方法

• 采用具有分段常数密度和分段线性速度分布的两层模型。
• 应用无粘性、不可压缩、分层流体的线性稳定性理论，其控制方程为式 (1) 中的特征值问题。
• 施加界面处压力和法向速度连续的条件，以及自由表面和刚性底部边界条件。
• 将稳定性问题简化为分析由色散关系导出的三次代数曲线 P(p, q) = 0 的拓扑结构。
• 通过平面代数曲线的几何分析，推导出必要且充分的稳定性条件。
• 聚焦于短波范围（α ≫ 1），并根据 λ、ρ 和 H 等参数对曲线构型进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 与均质情况相比，密度分层如何改变双线性剪切流的稳定性？
• RQ2 可以推导出哪些解析判据，以确定具有自由表面的两层分层剪切流的稳定性？
• RQ3 为何即使在均质版本稳定的情况下，分层双线性剪切流仍主要呈现不稳定状态？
• RQ4 在何种条件下分层流可被稳定化？上层涡度在其中起什么作用？
• RQ5 参数 λ 的变化如何影响稳定性曲线的拓扑结构，从而改变稳定性结果？

主要发现

• 密度分层对具有自由表面的双线性剪切流具有强烈的 destabilizing 效应，这与通常认为其具有稳定作用的观点相反。
• 分层双线性剪切流在大多数参数范围内均不稳定，且不稳定状态在广泛参数区间内持续存在。
• 仅当上层流体的涡度为零（Ω1 = 0）时，系统才可能被稳定，此时即使存在分层，也能抑制不稳定性。
• 当 λ > ρ 时，对于所有 α > 0，稳定性曲线的拓扑结构保持不变，表明其不稳定性行为具有鲁棒性。
• 几何方法导出了基于代数曲线上不存在有限奇点的、严格解析的、必要且充分的稳定性判据。
• 当斜率为 1 的直线在 (p, q)-平面上与曲线相交于两个不同点时，即可确认不稳定性，而这种情况在参数空间中频繁发生。