[论文解读] Effective and efficient approximations of the generalized inverse of the graph Laplacian matrix with an application to current-flow betweenness centrality

Enrico Bozzo, Massimo Franceschet|arXiv (Cornell University)|May 22, 2012

Complex Network Analysis Techniques参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于少量特征对的图拉普拉斯矩阵广义逆的高效近似方法，实现了大规模网络中电流流介数中心性的可扩展计算。伸展近似方法仅使用一个特征对即可实现与精确排序高度相关的结果（r > 0.9），将时间复杂度从 O(n³) 降低至 O(n¹.⁵)，内存消耗从 O(n²) 降低至 O(n)，使得大规模网络分析成为可能。

ABSTRACT

We devise methods for finding approximations of the generalized inverse of the graph Laplacian matrix, which arises in many graph-theoretic applications. Finding this matrix in its entirety involves solving a matrix inversion problem, which is resource demanding in terms of consumed time and memory and hence impractical whenever the graph is relatively large. Our approximations use only few eigenpairs of the Laplacian matrix and are parametric with respect to this number, so that the user can compromise between effectiveness and efficiency of the approximated solution. We apply the devised approximations to the problem of computing current-flow betweenness centrality on a graph. However, given the generality of the Laplacian matrix, many other applications can be sought. We experimentally demonstrate that the approximations are effective already with a constant number of eigenpairs. These few eigenpairs can be stored with a linear amount of memory in the number of nodes of the graph and, in the realistic case of sparse networks, they can be efficiently computed using one of the many methods for retrieving few eigenpairs of sparse matrices that abound in the literature.

研究动机与目标

• 解决在大规模网络中计算图拉普拉斯矩阵完整广义逆的计算不可行性问题。
• 通过仅利用少量特征对，开发在准确性和效率之间取得平衡的近似方法。
• 实现在社交、生物和科技等大规模网络中对电流流介数中心性的实际计算。
• 证明基于少量特征对的近似方法可在显著降低时间和内存开销的同时实现高精度。

提出的方法

• 提出两种近似方法：截断法和伸展法，二者均基于计算拉普拉斯矩阵的少量特征对。
• 截断近似方法仅使用计算出的特征对来估计广义逆矩阵的元素。
• 伸展近似方法通过估计被排除的特征对来提升准确性。
• 两种方法均为参数化方法，允许用户通过调整特征对数量来权衡准确性和效率。
• 通过广义逆公式将这些方法应用于计算电流流介数中心性。
• 理论分析表明，伸展近似方法比截断近似方法更有效。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用拉普拉斯矩阵的少量特征对有效近似其广义逆？
• RQ2 所用特征对数量如何影响近似结果的准确性？
• RQ3 所提出的近似方法是否能实现在大规模网络上高效计算电流流介数中心性？
• RQ4 在准确性和效率方面，截断法与伸展法相比如何？
• RQ5 在时间和内存开销方面，近似准确性与计算成本之间存在何种权衡？

主要发现

• 仅使用一个特征对，伸展近似方法与精确电流流介数中心性排序的相关系数超过 0.9。
• 近似方法的时间复杂度从精确求逆的 O(n³) 降低至 O(n¹.⁵)，使得在不到一小时内即可处理高达 10⁶ 个节点的图。
• 内存使用量从 O(n²) 降低至 O(n)，对于 10⁶ 个节点的网络仅需约 1 MB 内存。
• 在 ER 网络中，前几个特征对的计算速度比 BA 网络快一个数量级左右。
• 结合使用伸展近似（一个特征对）与节点对的随机采样方法，仅需使用节点对空间的 10% 以下即可实现高精度。
• 在 BA 和 ER 模型中，时间复杂度的 R 平方拟合值均高于 0.997，证实了所观察到的缩放行为具有极强的模型拟合度。