[论文解读] Effective Definability of the Reachability Relation in Timed Automata

Martin Fränzle, Karin Quaas+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2019

Formal Methods in Verification参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文提出了一种简化证明，表明时序自动机中的二元可达性关系在混合线性算术中是有效可定义的——即在实数上的线性算术基础上增加整数谓词。通过引入一种时钟记忆技术，将二元可达性问题简化为在衍生自动机中从零初值出发的可达性问题，作者构建了一个L-公式，用于捕捉任意两个配置之间的可达性，同时提供了有效的构造方法和复杂度界。

ABSTRACT

We give a new proof of the result of Comon and Jurski that the binary reachability relation of a timed automaton is definable in linear arithmetic.

研究动机与目标

• 为Comon和Jurski关于时序自动机中二元可达性关系可定义性的结果提供一种更简化且更易理解的证明。
• 通过引入一种新颖的时钟记忆技术，将二元可达性问题简化为单源可达性问题，从而消除先前证明中的技术复杂性。
• 建立一个一阶公式，该公式在混合线性算术（L）中有效捕捉时序自动机中配置之间的可达性。
• 分析构造此类公式的计算复杂度，表明其在状态数上为多项式时间，在时钟数和时钟常数的位长上为指数时间。

提出的方法

• 引入一个派生的时序自动机B，其在模拟原始自动机A的同时，通过复制时钟与参考时钟之间的差值来记忆初始时钟赋值ν₀。
• 利用时钟记忆技巧，将计算二元可达性关系的问题简化为在B中计算从⟨ℓ₀, 0⟩可达的配置集合。
• 构建一个离散时间、无限状态的自动机R(A)，用于跟踪时钟的整数部分和小数部分，并通过一个“预言”集合γ预测未来的重置操作。
• 定义R(A)中“环绕”转移的正规语言Lwrap，其交换图像对应于可达的整数时钟赋值。
• 通过有限指数强 bisimulation 证明Lwrap是正规的，从而可利用Parikh定理计算其Parikh图像，得到一个不含量词的Presburger公式。
• 通过将小数部分的存 在量词与整数部分的Presburger公式结合，构造最终的可达性公式ϕℓ₀,ℓ，确保其在L中有效可定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖复杂句法变换的前提下，有效定义时序自动机中二元可达性关系在混合线性算术中的形式？
• RQ2 如何将从任意初始时钟赋值出发的可达性问题，简化为从零赋值出发的可达性问题？
• RQ3 构造一个一阶公式以捕捉时序自动机中两个配置之间可达性的计算复杂度是多少？
• RQ4 时序自动机中可达整数时钟赋值的集合是否为半线性？是否可有效计算？
• RQ5 能否高效计算基于区域自动机导出的正规语言的Parikh图像，从而得到一个不含量词的Presburger公式？

主要发现

• 任何时序自动机中的二元可达性关系均可由混合线性算术（L）中的一阶公式有效定义，确认并简化了Comon和Jurski的原始结果。
• 该证明引入了一种新颖的时钟记忆技术，将二元可达性问题简化为从零时钟赋值出发的单源可达性问题，显著简化了构造过程。
• 对于给定状态和重置模式，可达整数时钟赋值的集合是半线性的，且可作为基于区域自动机导出的正规语言的Parikh图像被计算。
• 可达性公式ϕℓ₀,ℓ的构造在状态数上为多项式时间，在时钟数和时钟常数的位长上为指数时间，最终公式为存在型且可高效计算。
• 环绕转移语言Lwrap的Parikh图像是正规的，且可在时间界poly(|L|, cmax, 2|X|²)内计算，从而为时钟赋值的整数部分生成一个不含量词的Presburger公式。
• 最终的可达性公式ϕℓ₀,ℓ通过从不含量词的Presburger公式进行多项式大小变换获得，保持了在L中的有效可定义性。