[论文解读] Effective Height Upper Bounds on Algebraic Tori

Philipp Habegger|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文建立了代数环面上代数点的绝对对数Weil高度的有效上界，尤其在 $\mathbf{G}_m^n$ 中非典型相交的背景下。通过改进Bombieri–Zannier的高度上界并将其有效化，本文证明了位于余维数为2的子群中的曲线上的点的有限性结果，解决了低维情形下Bombieri–Masser–Zannier的猜想，并为Shimura簇中Pink猜想提供了基础工具。

ABSTRACT

The main emphasis will be on height upper bounds in the algebraic torus G^{n}_{m}. By height we will mean the absolute logarithmic Weil height. Section 3.2 contains a precise definition of this and other more general height functions. The first appendix gives a short overview of known results in the abelian case. The second appendix contains a few height bounds in Shimura varieties.

研究动机与目标

• 建立代数子群余维数至少为2的代数环面上点的绝对对数Weil高度的有效、统一上界。
• 解决位于非真陪集中的曲线上此类点的集合是否有限的问题，特别是在环面设定下。
• 通过转向 $\mathbf{G}_m^3$ 中的曲面，将一维以下子簇的有效高度上界推广至高维子簇。
• 通过分析奇异模和特殊子簇，为Shimura簇中的有界高度猜想（特别是 $Y(1)^2$）提供基础。
• 研究这些高度上界对Shimura簇中Pink猜想（关于非典型相交）的含义，尤其针对不包含于真特殊子簇中的曲线。

提出的方法

• 使用 $\mathbf{G}_m^n$ 中维数不超过1的子簇的Bombieri–Zannier高度上界的有效版本，明确依赖于子簇的次数和高度。
• 应用几何构造将 $n \leq 5$ 的曲线 $C \to \mathbf{G}_m^n$ 提升为 $\mathbf{G}_m^3$ 中的曲面 $S$，从而可应用已知的曲面上的高度上界。
• 利用奇异模理论和模曲线 $Y_0(N)$ 分析 $Y(1)^2$ 中的高度增长，特别是位于特殊子簇上的点。
• 结合解析数论结果——如在GRH下和无条件地，对奇异模高度的多项式与对数上界。
• 引入点 $p$ 在 $Y(1)^2$ 中的最小特殊子簇 ${\mathcal{S}}(p)$ 的概念，并使用其度数 $\deg_{\mathbf{Q}} S$ 作为复杂度的度量。
• 在 $Y(1)^2$ 中提出一个弱有界高度猜想，即高度为 $O(\log \deg_{\mathbf{Q}} S)$，以及一个超弱版本，其增长为 $O((\deg_{\mathbf{Q}} S)^\epsilon)$，以避免依赖GRH。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代数闭包 $\overline{\mathbf{Q}}$ 上定义的不可约曲线 $C \subset \mathbf{G}_m^n$，若其不包含于真陪集且位于余维数至少为2的代数子群中，则此类点的集合是否有限？
• RQ2 能否为位于余维数等于子簇维数的代数子群中的 $\mathbf{G}_m^n$ 子簇上的点建立有效高度上界？
• RQ3 奇异模 $j$ 的高度关于其判别式 $\Delta$ 的增长速率如何？这对Shimura簇中的高度上界有何影响？
• RQ4 能否为不为特殊的 $Y(1)^2$ 中的曲线提出一个有界高度猜想，使得高度以曲线关于 $\mathbf{Q}$ 的度数为界？
• RQ5 有效高度上界对 $Y(1)^n$ 中位于余维数至少为2的特殊子簇中的曲线上的点的有限性有何影响？

主要发现

• 当 $n \leq 5$ 时，位于非真陪集中且位于余维数至少为2的代数子群中的不可约曲线 $C \subset \mathbf{G}_m^n$ 上的点的集合是有限的。
• 该证明是有效的：若Bombieri–Zannier对维数 ≤1 子簇的高度上界是有效的，则该有限性结果也是有效的，且其界可明确表示为曲线的次数和高度的函数。
• 对于具有基本判别式 $\Delta$ 的奇异模 $j$，其高度在任意 $\epsilon > 0$ 下无条件地有上界 $c|\Delta|^{\epsilon}$，在GRH下则有上界 $c \log |\Delta|$。
• 在 $Y(1)^2$ 中的弱有界高度猜想指出，对于非特殊曲线，若 $\dim \mathcal{S}(p) \leq 1$，则点 $p$ 的高度为 $O(\log \deg_{\mathbf{Q}} S)$，且对满足 $\mathcal{S}(p) = Y_0(N)$ 的点，该结论无条件成立。
• 具有 $O((\deg_{\mathbf{Q}} S)^\epsilon)$ 增长的超弱有界高度猜想意味着：在 $Y(1)^n$ 中不为特殊的曲线上，位于余维数 ≥2 的特殊子簇中的点是有限的。
• 本文建立的有效高度上界为证明Pink猜想背景下的有限性结果提供了关键工具，特别是当与Pila的o-极小方法结合时。