[论文解读] Effective light cone and digital quantum simulation of interacting bosons

Tomotaka Kuwahara, Tan Van Vu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2022

Quantum many-body systems参考文献 60被引用 5

一句话总结

本文為相互作用玻色子系統確立了最佳有效光 cone，證明即使局域能量無界，信息傳播速度仍為有限值，並透過玻色子數截斷與 Haah-Hastings-Kohtari-Low 分解，開發出具有誤差保證的可證明高效數位量子模擬演算法。該方法確保門複雜度的增長為 $\tilde{\mathcal{O}}(|\Lambda|t\bar{q} \cdot \text{polylog}(|\Lambda|t\bar{q}/\epsilon))$，解決了量子多體動力學中長期存在的挑戰。

ABSTRACT

The speed limit of information propagation is one of the most fundamental features in non-equilibrium physics. The region of information propagation by finite-time dynamics is approximately restricted inside the effective light cone that is formulated by the Lieb-Robinson bound. To date, extensive studies have been conducted to identify the shape of effective light cones in most experimentally relevant many-body systems. However, the Lieb-Robinson bound in the interacting boson systems, one of the most ubiquitous quantum systems in nature, has remained a critical open problem for a long time. This study reveals a tight effective light cone to limit the information propagation in interacting bosons, where the shape of the effective light cone depends on the spatial dimension. To achieve it, we prove that the speed for bosons to clump together is finite, which in turn leads to the error guarantee of the boson number truncation at each site. Furthermore, we applied the method to provide a provably efficient algorithm for simulating the interacting boson systems. The results of this study settle the notoriously challenging problem and provide the foundation for elucidating the complexity of many-body boson systems.

研究动机与目标

• 解決長期懸而未決的問題：為具有發散局域能量、導致 Lieb-Robinson 速度通常無界的相互作用玻色子系統，確立有限且最佳的光 cone。
• 為每個位點的玻色子數截斷提供嚴謹的誤差保證，使即使在無界局域 Hilbert 空間下，也能進行受控模擬。
• 為相互作用玻色子開發可證明高效的數位量子模擬演算法，並提供明確的門複雜度邊界。
• 透過考慮有限截斷與有限傳播速度，將 Lieb-Robinson 界的適用性擴展至強關聯玻色子系統，特別是 Bose-Hubbard 模型。

提出的方法

• 證明玻色子聚集的速度為有限值，此結果暗示 Lieb-Robinson 速度有限，進而實現玻色子數截斷下的誤差控制。
• 使用 HHKL（Haah-Hastings-Kohtari-Low）演算法，將時間演化分解為時間間隔 $\Delta t = \mathcal{O}(1/\bar{q})$ 內的局部區塊動力學，確保近似誤差指數衰減。
• 在晶格的子集 $L$ 上定義區塊哈密頓量 $H_L(t)$，其中 $H_L(t)$ 為 $\mathcal{O}(d_L)$-稀疏，且 $d_L = \mathcal{O}(|L|)$，進而實現局部動力學的高效模擬。
• 應用參考文獻 [51] 中的定理 2.1，以界定模擬局部時間演化 $U_L(0\to\tau)$ 的門複雜度，得出複雜度為 $\mathcal{O}(\tau\bar{q}|L|^4 \log^2(\tau\bar{q}|L|/\epsilon)\log\bar{q})$。
• 將全域時間演化 $U_\Lambda(0\to t)$ 建構為空間區塊 $B_s$ 上有序單位演化之乘積，其誤差受 $\mathcal{O}(|\Lambda|t/\Delta t \cdot e^{-\mu\ell + vg\Delta t})$ 限制，其中 $\ell = \log(|\Lambda|t\bar{q}/\epsilon)$ 確保 $\epsilon$-準確性。
• 透過合併區塊模擬成本、區塊數量與時間步數，推導出總門複雜度，結果為 $\tilde{\mathcal{O}}(|\Lambda|t\bar{q} \cdot \text{polylog}(|\Lambda|t\bar{q}/\epsilon))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使局域能量無界且 Lieb-Robinson 速度發散，是否能為相互作用玻色子系統確立有限且最佳的光 cone？
• RQ2 在玻色子數截斷下，資訊在相互作用玻色子系統中的傳播最大速度為何？該速度是否仍為有限值？
• RQ3 能否為相互作用玻色子構建可證明高效的數位量子模擬演算法，並具備誤差邊界與有限門複雜度？
• RQ4 玻色子數截斷 $\bar{q}$ 的選擇如何影響相互作用玻色子系統中量子模擬的準確性與複雜度？

主要发现

• 本文確立了相互作用玻色子系統的最佳有效光 cone，其形狀取決於空間維度，解決了量子多體物理中長期懸而未決的問題。
• 證明玻色子聚集的速度為有限值，確保資訊傳播受限制，並實現玻色子數截斷下的嚴謹誤差控制。
• 模擬相互作用玻色子時間演化的門複雜度，其增長為 $\tilde{\mathcal{O}}(|\Lambda|t\bar{q} \cdot \text{polylog}(|\Lambda|t\bar{q}/\epsilon))$，提供可證明高效的模擬演算法。
• HHKL 分解的近似誤差受 $\mathcal{O}(|\Lambda|t/\Delta t \cdot e^{-\mu\ell + vg\Delta t})$ 限制，透過設定 $\ell = \log(|\Lambda|t\bar{q}/\epsilon)$，可確保誤差小於 $\epsilon$。
• 該方法確保在截斷下局域能量 $g = \mathcal{O}(\bar{q})$ 維持有限，且 $\Delta t = \mathcal{O}(1/\bar{q})$ 使 $g\Delta t = \mathcal{O}(1)$，從而維持穩定性與準確性。
• 推導出的門複雜度與理論下界僅相差多對數因子，確認該演算法在時間、系統大小與截斷層級方面均具最佳性。