[论文解读] Effective Resistances in Non-Expander Graphs

Dongrun Cai, Xue Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Complex Network Analysis Techniques被引用 2

一句话总结

本文建立了在一般无向图中对相邻顶点间有效电阻进行亚线性时间近似所需查询复杂度的强下界。研究证明，即使在有界度图（除目标点对外度数≤3）中，要实现1.01-近似，仍需Ω(n)次查询，并为度数为2的图提供了匹配的(1+ε)-近似算法，从而解决了关于非扩展图的关键开放问题。

ABSTRACT

Effective resistances are ubiquitous in graph algorithms and network analysis. In this work, we study sublinear time algorithms to approximate the effective resistance of an adjacent pair $s$ and $t$. We consider the classical adjacency list model for local algorithms. While recent works have provided sublinear time algorithms for expander graphs, we prove several lower bounds for general graphs of $n$ vertices and $m$ edges: 1.It needs $Ω(n)$ queries to obtain $1.01$-approximations of the effective resistance of an adjacent pair $s$ and $t$, even for graphs of degree at most 3 except $s$ and $t$. 2.For graphs of degree at most $d$ and any parameter $\ell$, it needs $Ω(m/\ell)$ queries to obtain $c \cdot \min\{d, \ell\}$-approximations where $c>0$ is a universal constant. Moreover, we supplement the first lower bound by providing a sublinear time $(1+ε)$-approximation algorithm for graphs of degree 2 except the pair $s$ and $t$. One of our technical ingredients is to bound the expansion of a graph in terms of the smallest non-trivial eigenvalue of its Laplacian matrix after removing edges. We discover a new lower bound on the eigenvalues of perturbed graphs (resp. perturbed matrices) by incorporating the effective resistance of the removed edge (resp. the leverage scores of the removed rows), which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 理解在一般（非扩展）图中估计有效电阻的亚线性时间算法的极限。
• 弥合扩展图上的已知上界与一般图缺乏亚线性算法之间的差距。
• 为近似相邻顶点对之间有效电阻建立紧致的查询复杂度下界。
• 提出一种新方法，利用有效电阻和杠杆度量来界定边移除后的谱扩张。
• 为除目标相邻点对外所有顶点度数至多为2的图提供(1+ε)-近似算法。

提出的方法

• 使用Yao的最小最大原理，通过图实例的概率分析证明查询复杂度下界。
• 构造两个图G和G′，它们仅通过两条精心选择的边不同，从而制造出可区分性差距。
• 应用谱图论，利用被移除边的有效电阻来界定移除边后拉普拉斯矩阵的第二特征值。
• 利用Ramanujan图的性质，确保在边移除后子图中仍保持强扩展性。
• 利用通过Dirichlet能量表征的有效电阻变分特征，来上界RG′(s,t)。
• 通过利用结构简单性和有界路径长度，设计了度数为2的图的(1+ε)-近似算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 亚线性时间算法能否在一般图中近似相邻顶点间的有效电阻？
• RQ2 在非扩展图中近似有效电阻的最优查询复杂度是多少？
• RQ3 扩展图的下界能否推广到一般图？
• RQ4 边的移除如何影响图的谱间隙和有效电阻？
• RQ5 是否存在针对有界度图的亚线性时间(1+ε)-近似算法？

主要发现

• 任何在相邻顶点对之间有效电阻上具有0.6成功概率和1.01-近似比的局部算法，即使在3-有界度图中，也需Ω(n)次查询。
• 对于最大度数为d的图，要实现c·min{d,ℓ}-近似，需Ω(m/ℓ)次查询，其中c>0为绝对常数。
• 对于除目标相邻点对s和t外所有顶点度数至多为2的图，存在(1+ε)-近似算法。
• 在修改后的图G′中，有效电阻至多为0.99，与原始图G中RG(s,t)=1形成可区分性差距。
• 推导出一个关于扰动拉普拉斯矩阵第二特征值的新下界，其中包含了被移除边的有效电阻。
• 本文提出了一种新颖的技术，将边移除后的谱扩张与有效电阻关联起来，该技术在谱图理论中可能具有独立兴趣。