[论文解读] Effective theory and emergent $SU(2)$ symmetry in the flat bands of attractive Hubbard models

Murad Tovmasyan, Sebastiano Peotta+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2016

Black Holes and Theoretical Physics被引用 5

一句话总结

本文为具有平坦能带的吸引 Hubbard 模型构建了一个有效的低能理论，表明由于投影相互作用哈密顿量中涌现的 SU(2) 对称性，BCS 波函数是精确基态。该对称性被二级跃迁过程所破坏，导致有限压缩率，并严格证明了不等式 D ≥ 𝒲²，从而保证了一维拓扑非平庸平坦能带中的弹道输运。

ABSTRACT

In a partially filled flat Bloch band electrons do not have a well defined Fermi surface and hence the low-energy theory is not a Fermi liquid. Neverethless, under the influence of an attractive interaction, a superconductor well described by the Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) wave function can arise. Here we study the low-energy effective Hamiltonian of a generic Hubbard model with a flat band. We obtain an effective Hamiltonian for the flat band physics by eliminating higher lying bands via perturbative Schrieffer-Wolff transformation. At first order in the interaction energy we recover the usual procedure of projecting the interaction term onto the flat band Wannier functions. We show that the BCS wave function is the exact ground state of the projected interaction Hamiltonian and that the compressibility is diverging as a consequence of an emergent $SU(2)$ symmetry. This symmetry is broken by second order interband transitions resulting in a finite compressibility, which we illustrate for a one-dimensional ladder with two perfectly flat bands. These results motivate a further approximation leading to an effective ferromagnetic Heisenberg model. The gauge-invariant result for the superfluid weight of a flat band can be obtained from the ferromagnetic Heisenberg model only if the maximally localized Wannier functions in the Marzari-Vanderbilt sense are used. Finally, we prove an important inequality $D \geq \mathcal{W}^2$ between the Drude weight $D$ and the winding number $\mathcal{W}$, which guarantees ballistic transport for topologically nontrivial flat bands in one dimension.

研究动机与目标

• 使用微扰 Schrieffer-Wolff 变换，为吸引 Hubbard 模型中的平坦能带推导有效的低能哈密顿量。
• 研究投影相互作用哈密顿量中 SU(2) 对称性的涌现及其物理后果。
• 理解由于带间过程导致的 SU(2) 对称性破缺及其对压缩率的影响。
• 在一维平坦能带中，建立超流重量 D 与绕数 𝒲 之间严格的联系。
• 通过从有效理论导出的铁磁海森堡模型，验证平坦能带中的超流重量。

提出的方法

• 执行微扰 Schrieffer-Wolff 变换以消除高能能带，推导平坦能带子空间的有效哈密顿量。
• 将 Hubbard 相互作用投影到平坦能带的 Wannier 函数上，得到有效相互作用哈密顿量。
• 使用 Marzari-Vanderbilt 意义下的最大局域化 Wannier 函数，以确保超流重量计算中的规范不变性。
• 应用重叠泛函最小化方法，证明 Marzari-Vanderbilt Wannier 函数可使重叠泛函最小化。
• 从投影哈密顿量推导出有效的铁磁海森堡模型，以描述低能物理。
• 证明超流重量 D 与绕数 𝒲 之间的不等式 D ≥ 𝒲²，以确立一维拓扑非平庸平坦能带中的弹道输运。

实验结果

研究问题

• RQ1 在吸引 Hubbard 模型的平坦能带中，低能有效哈密顿量的结构是什么？
• RQ2 在投影相互作用哈密顿量中，涌现的 SU(2) 对称性是如何产生的，其后果是什么？
• RQ3 什么因素破坏了涌现的 SU(2) 对称性，其对系统压缩率的影响如何？
• RQ4 是否能从有效海森堡模型中一致地推导出平坦能带中的超流重量，其条件是什么？
• RQ5 在一维平坦能带中，超流重量与绕数之间存在何种关系，其对输运意味着什么？

主要发现

• 由于投影相互作用哈密顿量中涌现的 SU(2) 对称性，BCS 波函数是平坦能带中该哈密顿量的精确基态。
• 当不考虑带间过程时，由于 SU(2) 对称性，压缩率发散；但当引入二级带间跃迁后，压缩率变为有限值。
• 超流重量 D 被绕数 𝒲 的平方从下方有界，即 D ≥ 𝒲²，这保证了一维拓扑非平庸平坦能带中的弹道输运。
• 只有当使用 Marzari-Vanderbilt 意义下的最大局域化 Wannier 函数时，有效铁磁海森堡模型才能正确重现规范不变的超流重量。
• 重叠泛函由 Marzari-Vanderbilt Wannier 函数最小化，证明了其在平坦能带子空间中最小化非局域性的全局最优性。
• 轨道分辨的 Zak 相位是规范依赖的，但其总和给出规范不变的总 Zak 相位，这对拓扑表征至关重要。