[论文解读] Effective Whitney theorem for complex polynomial mappings of the plane

Michał Farnik, Zbigniew Jelonek+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文为复多项式映射 $F = (f,g): \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ 建立了一个有效的惠特尼定理，确定了临界曲线 $C(F)$ 及其像 $\Delta(F)$（即判别式）的拓扑结构。论文给出了 $\Delta(F)$ 上尖点和节点数目的显式公式、$C(F)$ 的亏格以及无穷远处的行为，并为非一般映射的广义尖点指数之和提供了精确的上界。

ABSTRACT

We describe the topology of a general polynomial mapping $f:\Bbb C^2 o\Bbb C^2.$

研究动机与目标

• 描述一般多项式映射 $F = (f,g): \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ 的全局拓扑结构，其中 $d_1 = \deg f$，$d_2 = \deg g$ 固定。
• 确定临界曲线 $C(F)$ 及其像 $\Delta(F)$（即判别式）的拓扑类型。
• 计算 $\Delta(F)$ 上的尖点和节点数目，并分析其在无穷远处的奇点性质。
• 引入并分析广义尖点及其指标的概念，并为任意多项式映射建立广义尖点指标之和的精确上界。

提出的方法

• 将临界点集 $C(F)$ 分析为 $\mathbb{C}^2$ 中一个光滑且连通的曲线，其拓扑等价于一个去掉 $d_1+d_2-2$ 个点的亏格为 $\frac{(d_1+d_2-3)(d_1+d_2-4)}{2}$ 的球面。
• 利用 $C(F)$ 与判别曲线 $\Delta(F) = F(C(F))$ 之间的双有理等价关系，关联其亏格与奇点性质。
• 应用亏格公式与 $\delta$-不变量，计算尖点数 $c(F) = d_1^2 + d_2^2 + 3d_1d_2 - 6d_1 - 6d_2 + 7$ 与节点数 $d(F)$，其中校正项依赖于 $\gcd(d_1,d_2)$。
• 通过计算当 $d_1 > d_2$ 时无穷远处奇点的 $\delta$-不变量，或当 $d_1 = d_2$ 时计数光滑点，分析 $\Delta(F)$ 在无穷远处的行为。
• 引入点 $a$ 处广义尖点的指标 $\mu_a$，其定义基于局部环商的维数，并证明该指标在小邻域内计数了通用扰动下的简单尖点数目。
• 利用儒歇定理及多项式映射空间中的收敛性论证，证明指标 $\mu_a$ 的有限性与不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般多项式映射 $F = (f,g): \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$（其中 $d_1$ 与 $d_2$ 固定），临界曲线 $C(F)$ 的拓扑结构是什么？
• RQ2 $\Delta(F) = F(C(F))$ 的判别曲线有多少个尖点和节点？其亏格是多少？
• RQ3 判别曲线 $\Delta(F)$ 在无穷远处的行为如何，特别是其奇点性质及与无穷远直线的相切性？
• RQ4 对于满足 $\deg f \leq d_1$，$\deg g \leq d_2$ 的多项式映射 $F$，广义尖点指标之和的最大可能值是多少？
• RQ5 广义尖点的指标 $\mu_a$ 与在点 $a$ 附近通用扰动下的简单尖点数目之间有何关系？

主要发现

• 临界曲线 $C(F)$ 是一个光滑且连通的曲线，其拓扑等价于一个去掉 $d_1+d_2-2$ 个点的亏格为 $\frac{(d_1+d_2-3)(d_1+d_2-4)}{2}$ 的球面。
• 判别曲线 $\Delta(F)$ 与 $C(F)$ 双有理等价，仅具有尖点和节点作为奇点，且具有 $c(F) = d_1^2 + d_2^2 + 3d_1d_2 - 6d_1 - 6d_2 + 7$ 个简单尖点。
• $\Delta(F)$ 上的节点数目为 $d(F) = \frac{1}{2}\left[(d_1d_2 - 4)((d_1 + d_2 - 2)^2 - 2) - (\gcd(d_1,d_2) - 5)(d_1 + d_2 - 2) - 6\right]$。
• 当 $d_1 = d_2$ 时，$\Delta(F)$ 在无穷远处有 $d_1 + d_2 - 2$ 个光滑点，每个点与无穷远直线的相切重数为 $d_1$。
• 当 $d_1 > d_2$ 时，$\Delta(F)$ 在无穷远处有一个奇点 $P$，其具有 $d_1 + d_2 - 2$ 条分支，且 $\delta$-不变量为 $\delta_P = \frac{1}{2}d_1(d_1 - d_2)(d_1 + d_2 - 2)^2 + \frac{1}{2}(-2d_1 + d_2 + \gcd(d_1,d_2))(d_1 + d_2 - 2)$。
• 对于任意满足 $\deg f \leq d_1$，$\deg g \leq d_2$ 的多项式映射 $F = (f,g)$，广义尖点指标之和满足 $\sum_{i=1}^r \mu_{a_i} \leq d_1^2 + d_2^2 + 3d_1d_2 - 6d_1 - 6d_2 + 7$，且对一般映射可取等号。