[论文解读] Effects of noise on performance of Bernstein-Vazirani algorithm

Archi Gupta, Priya Ghosh+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2023

Optical Network Technologies被引用 4

一句话总结

本文研究了在影响Hadamard门的各种玻璃态（淬火）无序条件下，Bernstein-Vazirani量子算法的鲁棒性，模拟了NISQ时代量子器件中的实际噪声。结果表明，随着无序强度的增加，所有分布下的成功概率均单调下降，但对于较长的秘密字符串，性能仅取决于无序的均值和分布范围——这表明即使在噪声存在下，量子优势依然持续。

ABSTRACT

The Bernstein-Vazirani (BV) algorithm offers exceptional accuracy in finding the hidden bit string of a function. We explore how the algorithm performs in real-world situations where noise can potentially interfere with its performance. In order to assess the impact of imperfect equipments, we introduce various forms of glassy disorders into the effect of the Hadamard gates used in the Bernstein-Vazirani circuit. We incorporated disorders of five different forms, viz., Haar-uniform with finite cutoff, spherical Gaussian, discrete circular, spherical Cauchy-Lorentz, and squeezed. We find that the effectiveness of the algorithm decreases with increasing disorder strength in all cases. Additionally, we demonstrate that as the number of bits in the secret string increases, the success probability of correctly guessing the string becomes increasingly insensitive to the type of disorder and instead depends only on the mean and spread of the disorder. We compare our results with the performance of the analogous classical algorithm in the presence of similar noise. When the length of the secret string is small or moderate, the quantum BV algorithm is found to be more efficient compared to the classical algorithm for almost all types of disorders under consideration, unless the strength of the disorder is very high and the disorder follows a discrete circular distribution. However, if we move to extremely large secret strings, the success probability of the disordered BV algorithm merges with the success probability of the disordered classical algorithm for all considered disorders having arbitrary strengths. The limit on the length of the string after which the efficiency of the quantum algorithm becomes equivalent to the classical algorithm depends on the amount of disorder and not on the type of disorder.

研究动机与目标

• 评估Bernstein-Vazirani算法在影响量子硬件的真实噪声条件下的性能。
• 将噪声建模为作用于Hadamard门的玻璃态（淬火）无序，以表示量子门操作中的缺陷。
• 在相同噪声条件下，比较量子与经典算法的性能，尤其关注长秘密字符串的情况。
• 确定算法的成功概率是否依赖于无序的具体形式，还是仅取决于其统计特性（均值与方差）。

提出的方法

• 在Hadamard门中引入五种玻璃态无序：有限截断的Haar均匀分布、球形高斯分布、离散圆分布、球形柯西-洛伦兹分布以及压缩分布。
• 将每个含噪的Hadamard门建模为随机角度θk和φk的旋转，其取值来自指定的概率分布。
• 使用密度矩阵形式推导量子线路的最终态，并评估测量到正确秘密字符串的概率。
• 通过对大量无序实现取平均，获得无序平均化的性能指标。
• 应用中心极限定理，从理论上证明：当n较大时，所有具有明确定义均值与标准差的无序类型对性能的影响是等价的。
• 将量子结果与经典对应版本进行比较，其中相同的无序被引入经典逻辑门。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Hadamard门中存在不同类型的玻璃态无序时，Bernstein-Vazirani算法的成功概率如何退化？
• RQ2 无序的形式（如均匀、高斯、柯西）是否显著影响算法性能，还是仅均值与方差起决定作用？
• RQ3 对于长秘密字符串，算法性能是否变得与具体无序类型无关，而仅依赖于其统计参数？
• RQ4 在相同噪声条件下，量子算法的性能与经典算法相比如何，尤其在长秘密字符串情况下？
• RQ5 在噪声存在下，Bernstein-Vazirani算法的量子优势在何种条件下会失效？

主要发现

• 在所有五种无序类型下，Bernstein-Vazirani算法的成功概率随无序强度增加而单调下降。
• 对于长秘密字符串（n=10），成功概率对无序的具体形式不敏感，仅取决于无序的均值与标准差，这与中心极限定理的预测一致。
• 经典算法即使在无噪声情况下，随着字符串长度增加也变得指数级低效，凸显了量子优势。
• 在所有无序类型和强度下，量子算法均优于经典算法，仅在中等n（n=2）下存在强离散圆无序时，经典性能短暂超过量子。
• 成功概率的拟合曲线显示，其随无序强度呈指数衰减，参数依赖于n；当n=10时，dU=0且dG=dC=0时衰减几乎完全。
• 当n=10时，所有分布（均匀、高斯、柯西、离散）的拟合参数b显著增加（例如，bU=10，bG=10，bC=9.3，bD=35.4），表明在高无序强度下成功概率急剧下降。