[论文解读] Efficiency of change point tests in high dimensional settings

John A. D. Aston, Claudia Kirch|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Global trade and economics被引用 4

一句话总结

本文提出高维效率作为评估高维多变量设置下变点检测效能的新型渐近框架。比较了基于投影的检验方法（包括最优、随机和全面板方法），表明投影方法对协方差结构误设更具鲁棒性，并且在样本量有限时仍能保持较强的检验效能。

ABSTRACT

While there is considerable work on change point analysis in univariate time series, more and more data being collected comes from high dimensional multivariate settings. This paper introduces the asymptotic concept of high dimensional efficiency which quantifies the detection power of different statistics in such situations. While being related to classic asymptotic relative efficiency, it is different in that it provides the rate at which the change can get smaller with dimension while still being detectable. This also allows for comparisons of different methods with different null asymptotics as is for example the case in high-dimensional change point settings. Based on this new concept we investigate change point detection procedures using projections and develop asymptotic theory for how full panel (multivariate) tests compare with both oracle and random projections. Furthermore, for each given projection we can quantify a cone such that the corresponding projection statistic yields better power behavior if the true change direction is within this cone. The effect of misspecification of the covariance on the power of the tests is investigated, because in many high dimensional situations estimation of the full dependency (covariance) between the multivariate observations in the panel is often either computationally or even theoretically infeasible. It turns out that the projection statistic is much more robust in this respect in terms of size and somewhat more robust in terms of power. The theoretic quantification by the theory is accompanied by simulation results which confirm the theoretic (asymptotic) findings for surprisingly small samples. This shows in particular that the concept of high dimensional efficiency is indeed suitable to describe small sample power, and this is demonstrated in a multivariate example of market index data.

研究动机与目标

• 提出一种新的渐近框架——高维效率，用于量化当变化大小随维度增加而减小的情况下，检测效能的变化。
• 在关于变化方向的不同假设下，比较基于投影的检验方法（最优、随机和全面板）在高维变点检测中的表现。
• 评估不同检验统计量对协方差结构误设的鲁棒性，这是高维设置中的常见挑战。
• 证明基于投影的方法即使在完整协方差估计不可行或不准确时，仍能保持高检验效能和良好的尺寸控制。
• 通过模拟和一个真实世界的多变量市场指数数据实例验证理论结果，表明该方法在小样本设置下的适用性。

提出的方法

• 提出高维效率作为检测效能的度量，定义为当维度增加时，变化大小可缩减的速率，同时仍能被检测到。
• 采用基于投影的检验统计量，其中检验基于选定方向上观测值的线性组合，当投影方向与真实变化方向匹配时性能最优。
• 利用泛函中心极限定理和Hájek–Rényi型不等式，推导在原假设和局部备择假设下投影统计量的渐近分布。
• 引入一个方向锥，使得在该锥内的给定投影比全面板检验具有更高的检验效能，从而量化了关于变化方向先验知识的收益。
• 通过比较在错误或估计的协方差结构下的检验尺寸和效能，分析协方差误设的影响。
• 将理论应用于CUSUM型检验统计量，并在协方差矩阵的特征值和范数满足不同正则性条件时，推导其渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当变化大小随维度增加而按比例缩小时，变点检验的检测效能如何随维度增加而变化？
• RQ2 投影方向的选择如何影响变点检验的效能？在哪些方向范围内，投影方法优于全面板检验？
• RQ3 与全面板检验相比，基于投影的检验对协方差结构误设的鲁棒性如何？
• RQ4 高维效率这一理论概念能否准确预测真实数据设置中小样本条件下的表现？
• RQ5 在局部备择假设下，最优、随机和全面板检验在高维变点检测中的相对效率如何？

主要发现

• 高维效率提供了一个有意义的渐近框架，将小变化的可检测性与数据维度联系起来，量化了变化在保持可检测性的同时可缩减的速率。
• 使用真实变化方向的最优投影检验具有最高的效率，并且在已知变化方向时优于全面板检验。
• 基于投影的检验在尺寸控制方面对协方差误设表现出显著更强的鲁棒性，即使协方差结构被误设，尺寸偏差也极小。
• 投影检验的效能对误设的鲁棒性也优于全面板检验，尤其当真实变化方向位于能带来更高效能的方向锥内时。
• 模拟结果证实，高维效率能准确预测小样本表现，基于投影的方法即使在中等样本量下也优于全面板检验。
• 在真实多变量市场指数数据实例中，基于投影的检验表现出更高的检验效能和更强的鲁棒性，验证了理论发现的实际适用性。