[论文解读] Efficient algorithm for generating Pauli coordinates for an arbitrary linear operator

Daniel Gunlycke, Mark C. Palenik+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种高效算法，可在 O(N² log₂N) 次操作内计算任意线性算子的泡利坐标——显著快于传统的 O(N⁴) 方法——从而在量子算法（如 VQE）中实现实际的量子优势。该方法利用快速傅里叶变换和张量积结构加速基变换，通过在量子模拟器和真实硬件上对相对论性玻色子系统的基态能量进行精确计算得到验证。

ABSTRACT

Several linear algebra routines for quantum computing use a basis of tensor products of identity and Pauli operators to describe linear operators, and obtaining the coordinates for any given linear operator from its matrix representation requires a basis transformation, which for an $\mathrm N imes\mathrm N$ matrix generally involves $\mathcal O(\mathrm N^4)$ arithmetic operations. Herein, we present an efficient algorithm that for our particular basis transformation only involves $\mathcal O(\mathrm N^2\log_2\mathrm N)$ operations. Because this algorithm requires fewer than $\mathcal O(\mathrm N^3)$ operations, for large $\mathrm N$, it could be used as a preprocessing step for quantum computing algorithms for certain applications. As a demonstration, we apply our algorithm to a Hamiltonian describing a system of relativistic interacting spin-zero bosons and calculate the ground-state energy using the variational quantum eigensolver algorithm on a quantum computer.

研究动机与目标

• 解决将线性算子的矩阵表示转换为泡利基坐标时存在的计算瓶颈问题，传统方法需 O(N⁴) 次操作。
• 为需要泡利表示的量子算法（如 VQE 和 HHL）提供高效预处理。
• 将经典预处理成本降低至 O(N³) 以下，从而使量子算法能够实现整体量子优势。
• 在经典精确对角化和真实及模拟量子硬件上的量子 VQE 中，展示该算法在相互作用相对论性玻色子系统真实量子模拟中的实用性。

提出的方法

• 该算法基于 Q 量子比特泡利基的张量积结构进行递归分解，其中 N = 2^Q。
• 通过利用泡利矩阵的对称性和正交性，采用类似快速傅里叶变换（FFT）的递归方法，高效计算泡利坐标。
• 通过分治策略计算算子在泡利基中的系数，即与泡利基元素的内积，将复杂度从 O(N⁴) 降低至 O(N² log₂N)。
• 通过递归分割希尔伯特空间并在子空间上计算矩阵迹来实现变换，利用泡利算符构成完备正交基的性质。
• 该算法应用于二维福克空间中自旋为零的相对论性玻色子的哈密顿量，矩阵元由二次量子化和模式耦合导出。
• 所得泡利表示作为输入用于变分量子本征求解器（VQE），在 IBM Q 模拟器和 IBM Q Santiago 量子处理器上执行。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意线性算子，能否将矩阵表示到泡利坐标的基变换计算成本降低至 O(N³) 以下？
• RQ2 所提出的 O(N² log₂N) 算法是否能在 VQE 等量子算法中实现实际的量子优势？
• RQ3 使用该预处理步骤的 VQE 算法在多大程度上能准确复现强关联量子系统的基态能量？
• RQ4 在真实硬件（IBM Q Santiago）上进行的量子模拟结果与精确对角化和模拟器结果的匹配程度如何？

主要发现

• 该算法将泡利坐标生成的计算成本从 O(N⁴) 降低至 O(N² log₂N)，显著加快了量子算法的预处理速度。
• 该方法成功应用于二维盒子中四个无质量相对论性玻色子的哈密顿量，其矩阵元由二次量子化和模式耦合导出。
• 通过精确对角化以及在 IBM Q 模拟器和 IBM Q Santiago 量子处理器上的 VQE 计算了基态能量，所有平台的结果趋势一致。
• 对于弱相互作用情况，IBM Q Santiago 上的 VQE 结果得到斜率 β_qc ≈ 8.192×10⁻³，接近微扰估计值 β ≈ 5.374×10⁻³，表明尽管存在统计噪声，结果仍具合理准确性。
• VQE 得到的基态能量曲线整体形状与精确对角化结果一致，证实了该方法在量子模拟中的可行性。
• 本研究表明，通过该算法进行经典预处理，可在当前含噪声中等规模量子（NISQ）设备上实现量子线性代数任务的量子优势。